Амеба (математика) - Amoeba (mathematics)

Амеба п(z, ш) = ш − 2z − 1

Амеба п(z, ш) = 3z² + 5zw + ш³ + 1. Обратите внимание на "вакуоль "посреди амебы.

Амеба п(z, ш) = 1 + z + z² + z³ + z²ш³ + 10zw + 12z²ш + 10z²ш²

Амеба п(z, ш) = 50z³ + 83z²ш + 24zw² + ш³ + 392z² + 414zw + 50ш² − 28z + 59ш − 100

Очки в амебе п(Икс, у, z) = Икс + у + z - 1. Обратите внимание, что амеба на самом деле трехмерная, а не поверхность (это не совсем очевидно из изображения).

В комплексный анализ, филиал математика, амеба это набор связанный с многочлен в одном или нескольких комплексные переменные. Амебы находят применение в алгебраическая геометрия, особенно тропическая геометрия.

Определение

Рассмотрим функцию

${displaystyle operatorname {Log}: {ig (} {mathbb {C}} setminus {0} {ig)} ^ {n} o mathbb {R} ^ {n}}$

определены на множестве всех п-кортежи ${displaystyle z = (z_ {1}, z_ {2}, dots, z_ {n})}$ ненулевых сложные числа со значениями в Евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^ {n},}$ задается формулой

${displaystyle operatorname {Log} (z_ {1}, z_ {2}, dots, z_ {n}) = {ig (} log | z_ {1} |, log | z_ {2} |, точки, log | z_ {n} | {ig)}.}$

Здесь log обозначает натуральный логарифм. Если п(z) - многочлен от ${displaystyle n}$ комплексные переменные, его амеба ${displaystyle {mathcal {A}} _ {p}}$ определяется как изображение из набора нули из п под журналом, поэтому

${displaystyle {mathcal {A}} _ {p} = left {operatorname {Log} (z): zin {ig (} mathbb {C} setminus {0} {ig)} ^ {n}, p (z) = 0ight}.}$

Амебы были представлены в 1994 году в книге Гельфанд, Капранов и Зелевинский.^[1]

Характеристики

• Любая амеба - это закрытый набор.
• Любой связный компонент из дополнять ${displaystyle mathbb {R} ^ {n} setminus {mathcal {A}} _ {p}}$ является выпуклый.^[2]
• Площадь амебы многочлена от двух комплексных переменных, не равного тождественно нулю, конечна.
• У двумерной амебы есть ряд «щупалец», которые бесконечно длинны и экспоненциально сужаются к бесконечности.

Функция Ронкина

Полезным инструментом в изучении амеб является Функция Ронкина. За п(z), многочлен от п комплексные переменные, определяется функция Ронкина

${displaystyle N_ {p}: mathbb {R} ^ {n} o mathbb {R}}$

по формуле

${displaystyle N_ {p} (x) = {frac {1} {(2pi i) ^ {n}}} int _ {operatorname {Log} ^ {- 1} (x)} log | p (z) |, {frac {dz_ {1}} {z_ {1}}} клин {frac {dz_ {2}} {z_ {2}}} клин cdots клин {frac {dz_ {n}} {z_ {n}}}, }$

куда ${displaystyle x}$ обозначает ${displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, dots, x_ {n}).}$ Эквивалентно, ${displaystyle N_ {p}}$ дается интегралом

${displaystyle N_ {p} (x) = {frac {1} {(2pi) ^ {n}}} int _ {[0,2pi] ^ {n}} log | p (z) |, d heta _ { 1}, d heta _ {2} cdots d heta _ {n},}$

куда

${displaystyle z = left (e ^ {x_ {1} + i heta _ {1}}, e ^ {x_ {2} + i heta _ {2}}, точки, e ^ {x_ {n} + i heta) _{ночь).}$

Функция Ронкина выпуклая и аффинный на каждой связной компоненте дополнения к амебе ${displaystyle p (z)}$.^[3]

Например, функция Ронкина одночлен

${displaystyle p (z) = az_ {1} ^ {k_ {1}} z_ {2} ^ {k_ {2}} dots z_ {n} ^ {k_ {n}}}$

с ${displaystyle aeq 0}$ является

${displaystyle N_ {p} (x) = log | a | + k_ {1} x_ {1} + k_ {2} x_ {2} + cdots + k_ {n} x_ {n}.}$

Рекомендации

• Итенберг, Илья; Михалкин, Григорий; Шустин, Евгений (2007). Тропическая алгебраическая геометрия. Обервольфахские семинары. 35. Базель: Биркхойзер. ISBN  978-3-7643-8309-1. Zbl  1162.14300.
• Виро, Олег (2002), "Что такое ... амеба?" (PDF), Уведомления Американского математического общества, 49 (8): 916–917.

дальнейшее чтение

• Теобальд, Торстен (2002). «Вычислительные амебы». Exp. Математика. 11 (4): 513–526. Дои:10.1080/10586458.2002.10504703. Zbl  1100.14048.

внешняя ссылка

• Амебы алгебраических многообразий