В теория рассеяния, часть математическая физика, то Серия Дайсон, сформулированный Фриман Дайсон, это пертурбативный расширение оператор эволюции во времени в картинка взаимодействия. Каждый член может быть представлен суммой Диаграммы Фейнмана.
Эта серия расходится асимптотически, но в квантовая электродинамика (QED) во втором порядке отличие от экспериментального данные порядка 10−10. Это близкое согласие сохраняется, потому что константа связи (также известная как постоянная тонкой структуры ) из QED намного меньше 1.[требуется разъяснение ]
Обратите внимание, что в этой статье Единицы Планка используются, так что час = 1 (где час это приведенная постоянная Планка ).
Оператор Дайсона
Предположим, что у нас есть Гамильтониан ЧАС, который мы разбили на свободный часть ЧАС0 и взаимодействующая часть V, т.е. ЧАС = ЧАС0 + V.
Мы будем работать в картинка взаимодействия здесь и предположим, что единицы такие, что приведенная постоянная Планка час равно 1.
На картинке взаимодействия оператор эволюции U определяется уравнением
![Psi (t) = U (t, t_ {0}) Psi (t_ {0})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ee7bc2ef0be75b7be2503292119c98beda1eb84)
называется Оператор Дайсона.
У нас есть
![U (t, t) = I,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5be6cd05f090bbf59c00045630e67eea096ffff)
![U (t, t_ {0}) = U (t, t_ {1}) U (t_ {1}, t_ {0}),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43e56c7b652d66c527280ec8e07088615f3cbae)
![U ^ {- 1} (t, t_ {0}) = U (t_ {0}, t),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc115151728b72500b1883726445d5904038303)
и, следовательно, Уравнение Томонага – Швингера,
![i { frac d {dt}} U (t, t_ {0}) Psi (t_ {0}) = V (t) U (t, t_ {0}) Psi (t_ {0}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2e8944899228b02d2295805b6ab9200da20c0e)
Как следствие,
![U (t, t_ {0}) = 1-i int _ {{t_ {0}}} ^ {t} {dt_ {1} V (t_ {1}) U (t_ {1}, t_ { 0})}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1a82cbfe473957915ab405151bdd9e5976a9b6)
Вывод из серии Дайсона
Это приводит к следующему Серия Неймана:
![{ displaystyle { begin {align} U (t, t_ {0}) = {} & 1-i int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} V (t_ {1}) + ( -i) ^ {2} int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} , dt_ {2} V (t_ { 1}) V (t_ {2}) + cdots & {} + (- i) ^ {n} int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} int _ {t_ { 0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} cdots int _ {t_ {0}} ^ {t_ {n-1}} dt_ {n} V (t_ {1}) V (t_ {2 }) cdots V (t_ {n}) + cdots. end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b033901ad9c760a812895e3044d2f719378bdd)
Здесь у нас есть
, поэтому можно сказать, что поля по расписанию, и полезно ввести оператор
называется хронометраж оператор, определяя
![{ displaystyle U_ {n} (t, t_ {0}) = (- i) ^ {n} int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} cdots int _ {t_ {0}} ^ {t_ {n-1}} dt_ {n} , { mathcal {T}} V (t_ {1} ) V (t_ {2}) cdots V (t_ {n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa8fc643fb1f5ff521e79808d1a3a51db5276c6e)
Теперь мы можем попытаться упростить эту интеграцию. Фактически, по следующему примеру:
![{ displaystyle S_ {n} = int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} cdots int _ {t_ {0}} ^ {t_ {n-1}} dt_ {n} , K (t_ {1}, t_ {2}, dots, t_ {n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a69dd2d1c8df59b4c94e8866807e97250f8dfcac)
Предположить, что K симметричен по своим аргументам и определяет (посмотрите на пределы интегрирования):
![{ displaystyle I_ {n} = int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {2} cdots int _ {t_ { 0}} ^ {t} dt_ {n} K (t_ {1}, t_ {2}, dots, t_ {n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2cd58abe62833a9d9051f495b4e8c0d26802fc0)
Регион интеграции можно разбить на
субрегионы, определенные
,
и др. В силу симметрии K, интеграл в каждой из этих подобластей одинаков и равен
по определению. Так что это правда, что
![S_ {n} = { frac {1} {n!}} I_ {n}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc09376c5eed153912d5cd9c21f04e638594e4c)
Возвращаясь к нашему предыдущему интегралу, справедливо следующее тождество
![{ displaystyle U_ {n} = { frac {(-i) ^ {n}} {n!}} int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} int _ {t_ {0 }} ^ {t} dt_ {2} cdots int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {n} , { mathcal {T}} V (t_ {1}) V (t_ {2 }) cdots V (t_ {n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d33a764c371eafb2b34c29e0a39c44cdcd0fd83)
Суммируя все слагаемые, получаем теорему Дайсона для Серия Дайсон:[требуется разъяснение ]
![U (t, t_ {0}) = sum _ {{n = 0}} ^ { infty} U_ {n} (t, t_ {0}) = { mathcal T} e ^ {{- i int _ {{t_ {0}}} ^ {t} {d tau V ( tau)}}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b003552a65527b18843672e2eb53ce41e3527c1)
Волновые функции
Затем, возвращаясь к волновой функции для т > т0,
![| Psi (t) rangle = sum _ {{n = 0}} ^ { infty} {(- i) ^ {n} over n!} Left ( prod _ {{k = 1}) } ^ {n} int _ {{t_ {0}}} ^ {t} dt_ {k} right) { mathcal {T}} left { prod _ {{k = 1}} ^ { n} e ^ {{iH_ {0} t_ {k}}} Ve ^ {{- iH_ {0} t_ {k}}} right } | Psi (t_ {0}) rangle.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c60ce5dadc06626e3c312969dbcbf2a8b84f36)
Возвращаясь к Картина Шредингера, за тж > тя,
![langle psi _ {f}; t_ {f} mid psi _ {i}; t_ {i} rangle = sum _ {{n = 0}} ^ { infty} (- i) ^ { n} underbrace { int dt_ {1} cdots dt_ {n}} _ {{t_ {f} , geq , t_ {1} , geq , cdots , geq , t_ {n} , geq , t_ {i}}} , langle psi _ {f}; t_ {f} mid e ^ {{- iH_ {0} (t_ {f} -t_ {1 })}} Ve ^ {{- iH_ {0} (t_ {1} -t_ {2})}} cdots Ve ^ {{- iH_ {0} (t_ {n} -t_ {i})}} mid psi _ {i}; t_ {i} rangle.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c316f3ce3e9b2323525bc78d8517ae15e18b3f8b)
Смотрите также
Рекомендации
- Чарльз Дж. Джоахейн, Квантовая теория столкновений, Издательство Северной Голландии, 1975, ISBN 0-444-86773-2 (Эльзевир)