Полином Фекете - Fekete polynomial

Корни полинома Фекете при p = 43

В математика, а Полином Фекете это многочлен

${ displaystyle f_ {p} (t): = sum _ {a = 0} ^ {p-1} left ({ frac {a} {p}} right) t ^ {a} ,}$

куда ${ displaystyle left ({ frac { cdot} {p}} right) ,}$ это Символ Лежандра по модулю некоторого целого числап > 1.

Эти многочлены были известны в XIX веке в исследованиях L-функции Дирихле, и действительно Питер Густав Лежен Дирихле сам. Они получили имя Майкл Фекете, который заметил, что отсутствие реальных нулей т полинома Фекете с 0 < т <1 влечет такое же отсутствие для L-функция

${ displaystyle L left (s, { dfrac {x} {p}} right). ,}$

Это представляет значительный потенциальный интерес для теория чисел, в связи с гипотетическим Зигель ноль возлеs = 1. В то время как численные результаты для небольших случаев показали, что таких реальных нулей было немного, дальнейший анализ показывает, что это действительно может быть эффект «малого числа».

Рекомендации

• Питер Борвейн: Вычислительные экскурсии по анализу и теории чисел. Спрингер, 2002 г., ISBN  0-387-95444-9, Глава 5.

внешняя ссылка

• Брайан Конри, Эндрю Гранвиль, Бьорн Пунен и Каннан Соундарараджан, Нули многочленов Фекете, arXiv e-print math. NT / 9906214, 16 июня 1999 г.