Полевая арифметика - Field arithmetic

В математика, полевая арифметика это предмет, изучающий взаимосвязь между арифметическими свойствами поле и это абсолютная группа Галуа.Это междисциплинарный предмет, поскольку в нем используются инструменты из алгебраическая теория чисел, арифметическая геометрия, алгебраическая геометрия, теория моделей, теория конечные группы и из проконечные группы.

Поля с конечными абсолютными группами Галуа

Позволять K быть полем и пусть г = Гал (K) - его абсолютная группа Галуа. Если K является алгебраически замкнутый, тогда г = 1. Если K = р это действительные числа, тогда

${displaystyle G = operatorname {Gal} (mathbf {C} / mathbf {R}) = mathbf {Z} / 2mathbf {Z}.}$

Вот C поле комплексных чисел и Z кольцо целых чисел. А Теорема Артина и Шрайера утверждает, что (по существу) это все возможности для конечных абсолютных групп Галуа.

Теорема Артина – Шрайера. Позволять K - поле, абсолютная группа Галуа которого г конечно. Тогда либо K сепарабельно замкнуто и г тривиально или K является действительно закрыто и г = Z/2Z.

Поля, определяемые своими абсолютными группами Галуа

Некоторые проконечные группы встречаются как абсолютная группа Галуа неизоморфных полей. Первый пример этого:

${displaystyle {hat {mathbf {Z}}} = lim _ {longleftarrow} mathbf {Z} / nmathbf {Z}.}$

Эта группа изоморфна абсолютной группе Галуа произвольного конечное поле. Также абсолютная группа Галуа поля формальная серия Laurent C((т)) над комплексными числами изоморфна этой группе.

Чтобы получить еще один пример, мы приводим ниже два неизоморфных поля, абсолютные группы Галуа которых свободны (т. Е. свободная проконечная группа ).

• Позволять C быть алгебраически замкнутый поле и Икс Переменная. Тогда Гал (C(Икс)) не имеет ранга, равного мощности C. (Этот результат обусловлен Адриан Дуади для характеристики 0 и берет свое начало в Теорема существования Римана. Для поля произвольной характеристики это связано с Дэвид Харбатер и Флориан Поп, а также было доказано позже Дан Харан и Моше Джарден.)
• Абсолютная группа Галуа Gal (Q) (где Q - рациональные числа) компактно и, следовательно, снабжено нормализованным Мера Хаара. Для автоморфизма Галуа s (это элемент в Gal (Q)) позволять N_s - максимальное расширение Галуа Q это s исправления. Тогда с вероятностью 1 абсолютная группа Галуа Gal (N_s) не имеет счетного ранга. (Этот результат обусловлен Моше Джарден.)

В отличие от приведенных выше примеров, если рассматриваемые поля конечно порождены над Q, Флориан Поп доказывает, что изоморфизм абсолютных групп Галуа влечет изоморфизм полей:

Теорема. Позволять K, L быть конечно порожденными полями над Q и разреши а: Гал (K) → Гал (L) - изоморфизм. Тогда существует единственный изоморфизм алгебраических замыканий: б: K_alg → L_alg, что вызывает а.

Это обобщает более раннюю работу Юрген Нойкирх и Кодзи Учида по числовым полям.

Псевдоалгебраически замкнутые поля

А псевдоалгебраически замкнутое поле (сокращенно PAC) K - поле, удовлетворяющее следующему геометрическому свойству. Каждый абсолютно несводимый алгебраическое многообразие V определяется по K имеет K-рациональная точка.

Над полями PAC существует прочная связь между арифметическими свойствами поля и теоретико-групповыми свойствами его абсолютной группы Галуа. Хорошая теорема в этом духе связывает Гильбертианские поля с ω-свободными полями (K ω-свободна, если проблема встраивания для K правильно решается).

Теорема. Позволять K быть полем PAC. потом K гильбертово тогда и только тогда, когда K ω-свободна.

Питер Рокетт доказал направление этой теоремы справа налево и предположил обратное. Майкл Фрид и Гельмут Фёлькляйн применил алгебраическую топологию и комплексный анализ, чтобы установить гипотезу Рокетта в нулевой характеристике. Позже Поп доказал теорему для произвольной характеристики, развивая "жесткая ямка ".

использованная литература

• Фрид, Майкл Д .; Джарден, Моше (2004). Полевая арифметика. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. 11 (2-е изд. Перераб. И доп.). Springer-Verlag. ISBN  3-540-22811-Х. Zbl  1055.12003.
• Нойкирх, Юрген; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, Г-Н  1737196, Zbl  0948.11001