Селекционная теорема Фрайковой – Хелли - Fraňková–Helly selection theorem

В математика, то Селекционная теорема Фрайковой – Хелли является обобщением Теорема выбора Хелли для функций ограниченная вариация в случае регулируемые функции. Это было доказано в 1991 г. Чешский математик Дана Фраькова.

Фон

Позволять Икс быть отделяемый Гильбертово пространство, и пусть BV ([0, Т]; Икс) обозначают нормированное векторное пространство всех функций ж : [0, Т] → Икс с конечной полной вариацией по интервал [0, Т], снабженный полной нормой вариации. Хорошо известно, что BV ([0, Т]; Икс) удовлетворяет теорема компактности известный как Теорема выбора Хелли: при любой последовательности функций (ж_п)_п∈N в BV ([0, Т]; Икс), равномерно ограниченная по норме полной вариации, существует подпоследовательность

{ Displaystyle влево (е_ {п (к)} вправо) substeq (f_ {n}) подмножество mathrm {BV} ([0, T]; X)}

и предельная функция ж ∈ BV ([0, Т]; Икс) такие, что ж_п(k)(т) сходится слабо в Икс к ж(т) для каждого т ∈ [0, Т]. То есть на каждый непрерывный линейный функционал λ ∈ Икс*,

{ displaystyle lambda left (f_ {n (k)} (t) right) to lambda (f (t)) { mbox {in}} mathbb {R} { mbox {as}} k to infty.}

Рассмотрим теперь Банахово пространство Рег ([0, Т]; Икс) всех регулируемых функций ж : [0, Т] → Икс, оснащенный верхняя норма. Теорема Хелли не верна для пространства Reg ([0, Т]; Икс): а контрпример дается последовательностью

{ displaystyle f_ {n} (t) = sin (nt).}

Однако можно спросить, верна ли более слабая селекционная теорема и Селекционная теорема Фрайковой – Хелли вот такой результат.

Формулировка селекционной теоремы Фрайковой – Хелли.

Как и раньше, пусть Икс - сепарабельное гильбертово пространство, и пусть Reg ([0, Т]; Икс) обозначают пространство регулируемых функций ж : [0, Т] → Икс, оснащенный нормой супремума. Позволять (ж_п)_п∈N последовательность из Reg ([0, Т]; Икс) удовлетворяющее следующему условию: для каждого ε > 0, существует L_ε > 0, так что каждый ж_п может быть приблизительно ты_п ∈ BV ([0, Т]; Икс) удовлетворение

{ displaystyle | f_ {n} -u_ {n} | _ { infty} < varepsilon}

и

{ displaystyle | u_ {n} (0) | + mathrm {Var} (u_ {n}) leq L _ { varepsilon},}

где | - | обозначает норма в Икс и Вар (ты) обозначает вариацию ты, который определяется как супремум

{ displaystyle sup _ { Pi} sum _ {j = 1} ^ {m} | u (t_ {j}) - u (t_ {j-1}) |}

общий перегородки

{ displaystyle Pi = {0 = t_ {0}

из [0, Т]. Тогда существует подпоследовательность

{ Displaystyle влево (е_ {п (к)} вправо) substeq (f_ {п}) подмножество mathrm {Reg} ([0, T]; X)}

и предельная функция ж ∈ Reg ([0, Т]; Икс) такие, что ж_п(k)(т) слабо сходится в Икс к ж(т) для каждого т ∈ [0, Т]. То есть для любого непрерывного линейного функционала λ ∈ Икс*,

{ displaystyle lambda left (f_ {n (k)} (t) right) to lambda (f (t)) { mbox {in}} mathbb {R} { mbox {as}} k to infty.}

Селекционная теорема Фрайковой – Хелли - Fraňková–Helly selection theorem

Фон

Формулировка селекционной теоремы Фрайковой – Хелли.

Рекомендации