Обобщенная алгебра Клиффорда - Generalized Clifford algebra - Wikipedia

В математика, а Обобщенная алгебра Клиффорда (GCA) - это ассоциативная алгебра это обобщает Алгебра Клиффорда, и возвращается к работе Герман Вейль,[1] кто использовал и формализовал эти круглосуточный операторы введены Дж. Дж. Сильвестр (1882),[2] и организовано Картан (1898)[3] и Швингер.[4]

Матрицы тактовых импульсов и сдвигов находят рутинное применение во многих областях математической физики, являясь краеугольным камнем квантовая динамика в конечномерных векторных пространствах.[5][6][7] Концепция спинор можно в дальнейшем связать с этими алгебрами.[6]

Термин обобщенные алгебры Клиффорда может также относиться к ассоциативным алгебрам, которые построены с использованием форм более высокой степени вместо квадратичных форм.[8][9][10][11]

Определение и свойства

Абстрактное определение

В п-мерная обобщенная алгебра Клиффорда определяется как ассоциативная алгебра над полем F, создано[12]

и

j,k,л,м = 1,...,п.

Более того, в любом неприводимом матричном представлении, актуальном для физических приложений, требуется, чтобы

j,k = 1,...,п, и gcd. Поле F обычно принимают комплексные числа C.

Более конкретное определение

В более распространенных случаях GCA,[6] в п-мерная обобщенная алгебра Клиффорда порядка п имеет свойство ωкДж = ω, для всех j,k, и . Следует, что

и

для всех j,k, l = 1, ...,п, и

это пкорень 1-го числа.

В литературе существует несколько определений обобщенной алгебры Клиффорда.[13]

Алгебра Клиффорда

В (ортогональной) алгебре Клиффорда элементы подчиняются правилу антикоммутации с ω = −1, и п = 2.

Матричное представление

Матрицы Clock и Shift могут быть представлены[14] к п × п матрицы в канонической записи Швингера как

.

В частности, Vп = 1, VU = ωUVОтношения плетения Вейля ), и W−1VW = Uдискретное преобразование Фурье ). С е1 = V , е2 = VU, и е3 = U, один имеет три базовых элемента, которые вместе с ω, выполнить указанные выше условия Обобщенной алгебры Клиффорда (GCA).

Эти матрицы, V и U, обычно обозначаемый как "матрицы сдвига и синхронизации ", были представлены Дж. Дж. Сильвестр в 1880-х гг. (Обратите внимание, что матрицы V цикличны матрицы перестановок которые выполняют круговой сдвиг; их не следует путать с матрицы верхнего и нижнего сдвига у которых есть только либо выше, либо ниже диагонали соответственно).

Конкретные примеры

Дело п = п = 2

В этом случае мы имеем ω = −1, и

таким образом

,

которые составляют Матрицы Паули.

Дело п = п = 4

В этом случае мы имеем ω = я, и

и е1, е2, е3 может быть определено соответственно.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Вейль, Х. (1927). "Quantenmechanik und Gruppentheorie". Zeitschrift für Physik. 46 (1–2): 1–46. Bibcode:1927ZPhy ... 46 .... 1Вт. Дои:10.1007 / BF02055756.
    — (1950) [1931]. Теория групп и квантовая механика. Дувр. ISBN  9780486602691.
  2. ^ Сильвестр, Дж. Дж. (1882 г.), Несколько слов о нонионах, Циркуляры Университета Джона Хопкинса, я, стр. 241–2, HDL:1774.2/32845; там же II (1883) 46; там же III (1884) 7–9. Обобщено в Сборник статей Джеймса Джозефа Сильвестра по математике (Издательство Кембриджского университета, 1909 г.) v III . онлайн и дальше.
  3. ^ Картан, Э. (1898). "Les groupes bilinéaires et les systèmes de nombres complex" (PDF). Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. 12 (1): B65 – B99.
  4. ^ Швингер, Дж. (Апрель 1960 г.). «Унитарные операторные базы». Proc Natl Acad Sci U S A. 46 (4): 570–9. Bibcode:1960ПНАС ... 46..570С. Дои:10.1073 / pnas.46.4.570. ЧВК  222876. PMID  16590645.
    — (1960). «Унитарные преобразования и принцип действия». Proc Natl Acad Sci U S A. 46 (6): 883–897. Bibcode:1960ПНАС ... 46..883С. Дои:10.1073 / pnas.46.6.883. ЧВК  222951. PMID  16590686.
  5. ^ Santhanam, T. S .; Текумалла, А. Р. (1976). «Квантовая механика в конечных измерениях». Основы физики. 6 (5): 583. Bibcode:1976ФоФ .... 6..583С. Дои:10.1007 / BF00715110.
  6. ^ а б c См. Например: Граник, А .; Росс, М. (1996). «На новой основе для обобщенной алгебры Клиффорда и ее приложения к квантовой механике». In Ablamowicz, R .; Parra, J .; Лунесто П. (ред.). Алгебры Клиффорда с приложениями для числовых и символьных вычислений. Birkhäuser. С. 101–110. ISBN  0-8176-3907-1.
  7. ^ Квасьневский, А. (1999). "Об обобщенной алгебре КлиффордаC(п)4 andGLq(2; C) квантовая группа ». AACA. 9 (2): 249–260. arXiv:математика / 0403061. Дои:10.1007 / BF03042380.
  8. ^ Тессер, Стивен Барри (2011). «Обобщенные алгебры Клиффорда и их представления». В Микали, А .; Boudet, R .; Helmstetter, J. (ред.). Алгебры Клиффорда и их приложения в математической физике. Springer. стр.133 –141. ISBN  978-90-481-4130-2.
  9. ^ Чайлдс, Линдси Н. (30 мая 2007 г.). «Линеаризация n-мерных форм и обобщенные алгебры Клиффорда». Линейная и полилинейная алгебра. 5 (4): 267–278. Дои:10.1080/03081087808817206.
  10. ^ Паппасена, Кристофер Дж. (Июль 2000 г.). «Матричные пучки и обобщенная алгебра Клиффорда». Линейная алгебра и ее приложения. 313 (1–3): 1–20. Дои:10.1016 / S0024-3795 (00) 00025-2.
  11. ^ Чепмен, Адам; Куо, Чжун-Мяо (апрель 2015 г.). «Об обобщенной алгебре Клиффорда монического многочлена». Линейная алгебра и ее приложения. 471: 184–202. arXiv:1406.1981. Дои:10.1016 / j.laa.2014.12.030.
  12. ^ Для исправного обзора см. Вурдас, А. (2004). «Квантовые системы с конечным гильбертовым пространством». Rep. Prog. Phys. 67 (3): 267–320. Bibcode:2004РПФ ... 67..267В. Дои:10.1088 / 0034-4885 / 67/3 / R03.
  13. ^ См., Например, обзор, представленный в: Смит, Тара Л. «Разложение обобщенных алгебр Клиффорда» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 12.06.2010.
  14. ^ Рамакришнан, Аллади (1971). «Обобщенная алгебра Клиффорда и ее приложения - новый подход к внутренним квантовым числам». Труды конференции по алгебре Клиффорда, ее обобщениям и приложениям, 30 января – 1 февраля 1971 г. (PDF). Мадрас: Matscience. С. 87–96.

дальнейшее чтение