Индуцированная метрика - Induced metric - Wikipedia
| Эта статья требует внимания специалиста по физике. Пожалуйста, добавьте причина или разговаривать в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. ВикиПроект Физика может помочь нанять эксперта. (Октябрь 2019) |
В математика и теоретическая физика, то индуцированная метрика это метрический тензор определено на подмногообразие который вычисляется из метрического тензора на большем многообразие в которое вложено подмногообразие, через откат, вызывающий. Его можно рассчитать по следующей формуле (написанной с использованием Соглашение о суммировании Эйнштейна ), которая является составной частью операции отката:[1]
![g_ {ab} = partial _ {a} X ^ { mu} partial _ {b} X ^ { nu} g _ { mu nu}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2f80b5bf5d02c886ef2b1843fc3a067f91ff65)
Здесь
описать индексы координат
подмногообразия, а функции
кодируют вложение в многомерное многообразие, касательные индексы которого обозначены
.
Пример - кривая на торе
Позволять
![Pi двоеточие { mathcal {C}} to mathbb {R} ^ {3}, tau mapsto { begin {cases} { begin {align} x ^ {1} & = (a + b cos (n cdot tau)) cos (m cdot tau) x ^ {2} & = (a + b cos (n cdot tau)) sin (m cdot тау) x ^ {3} & = b sin (n cdot tau). end {выравнивается}} end {case}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f6fc45f92cc4e50e3370185797b868c86f5cb7)
- карта из области определения кривой
с параметром
в евклидово многообразие
. Здесь
являются константами.
Тогда есть метрика, заданная на
в качестве
.
и мы вычисляем
![g _ { tau tau} = sum limits _ { mu, nu} { frac { partial x ^ { mu}} { partial tau}} { frac { partial x ^ { nu}} { partial tau}} underbrace {g _ { mu nu}} _ { delta _ { mu nu}} = sum limits _ { mu} left ({ frac { partial x ^ { mu}} { partial tau}} right) ^ {2} = m ^ {2} a ^ {2} + 2m ^ {2} ab cos (n cdot tau) + m ^ {2} b ^ {2} cos ^ {2} (n cdot tau) + b ^ {2} n ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a0ade98ab753b5ce4e39c96430f5fa7292975be)
Следовательно ![g _ { mathcal {C}} = (m ^ {2} a ^ {2} + 2m ^ {2} ab cos (n cdot tau) + m ^ {2} b ^ {2} cos ^ {2} (п cdot tau) + b ^ {2} n ^ {2}) mathrm {d} tau otimes mathrm {d} tau](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082c4541c14abd99042bb8b5197715fc8454894a)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Пуассон, Эрик (2004). Инструментарий релятивиста. Издательство Кембриджского университета. п. 62. ISBN 978-0-521-83091-1.