Теорема Юрката – Ришерта - Jurkat–Richert theorem

В Теорема Юрката – Ришерта это математическая теорема в теория сита. Это ключевой ингредиент доказательств Теорема Чена на Гипотеза Гольдбаха.^[1]:272Это было доказано в 1965 году Вольфгангом Б. Юркатом и Ханс-Эгон Рихерт.^[2]

Формулировка теоремы

Этот состав от Diamond & Гальберштам.^[3]:81Другие составы находятся в Jurkat & Richert,^[2]:230 Хальберштам и Рихерт,^[4]:231и Натансон.^[1]:257

Предполагать А конечная последовательность целых чисел и п представляет собой набор простых чисел. Написать А_d для количества позиций в А которые делятся на d, и писать п(z) для произведения элементов в п что меньше чем z. Напишите ω (d) для мультипликативная функция такое, что ω (п)/п примерно пропорция элементов А делится на п, записывать Икс для любого удобного приближения к |А|, а остаток запишем как

${displaystyle r_ {A} (d) = left | A_ {d} ight | - {frac {omega (d)} {d}} X.}$

Написать S(А,п,z) для количества элементов в А которые относительно просты с п(z). Написать

${displaystyle V (z) = prod _ {pin P, p$

Напишите ν (м) для числа различных простых делителей числа м. Написать F₁ и ж₁ для функций, удовлетворяющих определенным разностным дифференциальным уравнениям (см. Diamond & Halberstam^[3]:67–68 для определения и свойств).

Мы предполагаем, что размерность (плотность просеивания) равна 1: то есть существует постоянная C такое, что при 2 ≤ z < ш у нас есть

${displaystyle prod _ {zleq p$

(Книга Diamond & Halberstam^[3] распространяет теорему на размерности выше 1.) Тогда теорема Юрката – Рихерта утверждает, что для любых чисел у и z с 2 ≤ z ≤ у ≤ Икс у нас есть

${displaystyle S (A, P, z) leq XV (z) left (F_ {1} left ({frac {log y} {log z}} ight) + Oleft ({frac {(log log y) ^ {3 / 4}} {(log y) ^ {1/4}}} ight) ight) + sum _ {m | P (z), m$

и

${displaystyle S (A, P, z) geq XV (z) left (f_ {1} left ({frac {log y} {log z}} ight) -Oleft) ({frac {(log log y) ^ {3 / 4}} {(log y) ^ {1/4}}} ight) ight) -sum _ {m | P (z), m$

Примечания