Список интегралов от экспоненциальных функций - List of integrals of exponential functions - Wikipedia
Статья со списком Википедии
Ниже приводится список интегралы из экспоненциальные функции. Полный список встроенных функций см. список интегралов.
Неопределенный интеграл
Неопределенные интегралы равны первообразный функции. Константа ( постоянная интеграции ) может быть добавлено к правой части любой из этих формул, но здесь опущено для краткости.
Интегралы от многочленов
![{ displaystyle int xe ^ {cx} , dx = e ^ {cx} left ({ frac {cx-1} {c ^ {2}}} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64b7471790d705b0da4a5a9022e311661da69ab)
![{ displaystyle int x ^ {2} e ^ {cx} , dx = e ^ {cx} left ({ frac {x ^ {2}} {c}} - { frac {2x} {c ^ {2}}} + { frac {2} {c ^ {3}}} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef18e14e28b0e82287b84a971cb3258b25854c8d)
![{ displaystyle { begin {align} int x ^ {n} e ^ {cx} , dx & = { frac {1} {c}} x ^ {n} e ^ {cx} - { frac { n} {c}} int x ^ {n-1} e ^ {cx} , dx & = left ({ frac { partial} { partial c}} right) ^ {n} { frac {e ^ {cx}} {c}} & = e ^ {cx} sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} { frac {n!} {(ni)! c ^ {i + 1}}} x ^ {ni} & = e ^ {cx} sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {ni} { гидроразрыв {п!} {i! c ^ {n-i + 1}}} x ^ {i} end {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e2078d7ca28221da215e3e29d932718eac56f0a)
![{ displaystyle int { frac {e ^ {cx}} {x}} , dx = ln | x | + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(cx) ^ {n}} {n cdot n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d72411085d46477bc3ee8fe57d182a2d85c7b854)
![{ displaystyle int { frac {e ^ {cx}} {x ^ {n}}} , dx = { frac {1} {n-1}} left (- { frac {e ^ { cx}} {x ^ {n-1}}} + c int { frac {e ^ {cx}} {x ^ {n-1}}} , dx right) qquad { text {( for}} n neq 1 { text {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad25abaccfa95e3d0a47dc1f51c5cf7e82d174a)
Интегралы, содержащие только экспоненциальные функции
![{ displaystyle int f '(x) e ^ {f (x)} , dx = e ^ {f (x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86148a16ca8ad7f5d0a3e8ce91a6cea111382382)
![{ displaystyle int e ^ {cx} , dx = { frac {1} {c}} e ^ {cx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ce7c2dc8ca0393cdbda5681f93f1dd77242177)
![{ displaystyle int a ^ {cx} , dx = { frac {1} {c cdot ln a}} a ^ {cx} qquad { text {for}} a> 0, a neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3484450a8263564c7e9af1314b7e652f6f5d91a)
Интегралы с экспоненциальными и тригонометрическими функциями
![{ displaystyle { begin {align} int e ^ {cx} sin bx , dx & = { frac {e ^ {cx}} {c ^ {2} + b ^ {2}}} (c sin bx-b cos bx) & = { frac {e ^ {cx}} { sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} sin (bx- phi) qquad { text {where}} cos ( phi) = { frac {c} { sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4f19483e6d1ef3d81bf188d0241122a15a2832)
![{ displaystyle { begin {align} int e ^ {cx} cos bx , dx & = { frac {e ^ {cx}} {c ^ {2} + b ^ {2}}} (c cos bx + b sin bx) & = { frac {e ^ {cx}} { sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} cos (bx- phi) qquad { text {where}} cos ( phi) = { frac {c} { sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bdf7028ee11486027f5b93172156c95b4898673)
![{ displaystyle int e ^ {cx} sin ^ {n} x , dx = { frac {e ^ {cx} sin ^ {n-1} x} {c ^ {2} + n ^ { 2}}} (c sin xn cos x) + { frac {n (n-1)} {c ^ {2} + n ^ {2}}} int e ^ {cx} sin ^ { п-2} х , dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3050725e6e1d9c9e7020ed33cc62d338ab86583d)
![{ displaystyle int e ^ {cx} cos ^ {n} x , dx = { frac {e ^ {cx} cos ^ {n-1} x} {c ^ {2} + n ^ { 2}}} (c cos x + n sin x) + { frac {n (n-1)} {c ^ {2} + n ^ {2}}} int e ^ {cx} cos ^ {п-2} х , дх}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdad87a4bf6155c4e9fb86e3795f79f35626bfc4)
Интегралы, включающие функцию ошибок
В следующих формулах Эрф это функция ошибки и Ei это экспоненциальный интеграл.
![{ displaystyle int e ^ {cx} ln x , dx = { frac {1} {c}} left (e ^ {cx} ln | x | - operatorname {Ei} (cx) верно)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82f909663662a7e4c1715a44214a26c0ec7ab3b)
![{ displaystyle int xe ^ {cx ^ {2}} , dx = { frac {1} {2c}} e ^ {cx ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7581343f0df56ff5a130f1c2c7a3f7b4d7cea832)
![{ displaystyle int e ^ {- cx ^ {2}} , dx = { sqrt { frac { pi} {4c}}} operatorname {erf} ({ sqrt {c}} x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf6f0ecc13f114c367bed9937a6b9ceffde1a97)
![{ displaystyle int xe ^ {- cx ^ {2}} , dx = - { frac {1} {2c}} e ^ {- cx ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e3ea3b71168d526c08a41b0afa29f2220b21bea)
![{ displaystyle int { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x ^ {2}}} , dx = - { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x }} - { sqrt { pi}} operatorname {erf} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b21fec33291265ce6d5915d45a58b445521390)
![{ displaystyle int {{ frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} e ^ {- { frac {1} {2}} left ({ frac {x- mu} { sigma}} right) ^ {2}}} , dx = { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {x- mu} { sigma { sqrt {2}}}} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a76f89e34a850c4325348aa1e188c64d769fe9d6)
Другие интегралы
![{ displaystyle int e ^ {x ^ {2}} , dx = e ^ {x ^ {2}} left ( sum _ {j = 0} ^ {n-1} c_ {2j} { гидроразрыв {1} {x ^ {2j + 1}}} right) + (2n-1) c_ {2n-2} int { frac {e ^ {x ^ {2}}} {x ^ {2n }}} , dx quad { text {допустим для любого}} n> 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d93ace0e1e977c694fca23518e5c14166470d7b)
- куда
![{ displaystyle c_ {2j} = { frac {1 cdot 3 cdot 5 cdots (2j-1)} {2 ^ {j + 1}}} = { frac {(2j)!} {j! 2 ^ {2j + 1}}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ceb1185f45a6f27875a99f78a758bed0e0e52fb)
- (Обратите внимание, что значение выражения равно независимый стоимости п, поэтому он не фигурирует в интеграле.)
![{ displaystyle { int underbrace {x ^ {x ^ { cdot ^ { cdot ^ {x}}}}} _ {m} dx = sum _ {n = 0} ^ {m} { frac {(-1) ^ {n} (n + 1) ^ {n-1}} {n!}} Gamma (n + 1, - ln x) + sum _ {n = m + 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} a_ {mn} Gamma (n + 1, - ln x) qquad { text {(для}} x> 0 { text {)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14aa2d7a6a2a5091cc0bc7e776ed6512c5a56044)
- куда
![{ displaystyle a_ {mn} = { begin {cases} 1 & { text {if}} n = 0, { dfrac {1} {n!}} & { text {if}} m = 1, { dfrac {1} {n}} sum _ {j = 1} ^ {n} ja_ {m, nj} a_ {m-1, j-1} & { text { в противном случае}} end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da4c50b671f209e217e8808224d7a6f54aab928)
- и Γ (Икс,у) это верхняя неполная гамма-функция.
когда
,
, и ![{ displaystyle ae ^ { lambda x} + b> 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a0db404dddbc154cfb0592799df733a1481e8c)
когда
,
, и ![{ displaystyle ae ^ { lambda x} + b> 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a0db404dddbc154cfb0592799df733a1481e8c)
![{ displaystyle int { frac {ae ^ {cx} -1} {be ^ {cx} -1}} , dx = { frac {(ab) log (1-be ^ {cx})} {bc}} + x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c83e7c7e4e9291e85042b197cca5e88ef3cada)
Определенные интегралы
![{ Displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {1} e ^ {x cdot ln a + (1-x) cdot ln b} , dx & = int _ {0} ^ {1} left ({ frac {a} {b}} right) ^ {x} cdot b , dx & = int _ {0} ^ {1} a ^ {x} cdot b ^ {1-x} , dx & = { frac {ab} { ln a- ln b}} qquad { text {for}} a> 0, b> 0, a neq b end {выровнен}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dbaaca7f195d03cc44471c21f7800cd52b900ea)
Последнее выражение - это логарифмическое среднее.
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax} , dx = { frac {1} {a}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d17873e603d6115515e3b9697c1a1c7dc6afb5b)
(в Гауссов интеграл )
![{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { sqrt { pi over a}} quad (a> 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d173c3a0a51d1491a0c0ccb21456ec842d991df1)
![{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {2}} e ^ {- { frac {b} {x ^ {2}}}} , dx = { sqrt { frac { pi} {a}}} e ^ {- 2 { sqrt {ab}}} quad (a, b> 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f81ec890d23ed583e6ff3feab019e73c8bf1ec)
![{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- (ax ^ {2} + bx)} , dx = { sqrt { pi over a}} e ^ { tfrac {b ^ {2}} {4a}} quad (a> 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb3c6c1a2da5557eef70f1e8c104450eb178c0ad)
(видеть Интеграл от функции Гаусса )
![{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} xe ^ {- a (xb) ^ {2}} , dx = b { sqrt { frac { pi} {a}}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d04ac61db5ed1f8b014e76248642132670e278)
![{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} xe ^ {- ax ^ {2} + bx} , dx = { frac {{ sqrt { pi}} b} {2a ^ { 3/2}}} e ^ { frac {b ^ {2}} {4a}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f12419c1c03459f9e4485f00c24d8847701697c)
![{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {2} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { пи над ^ {3}}} quad (a> 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdc40a04ccfabe052e1faa2b0bc367c3b712a21c)
![{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {2} e ^ {- (ax ^ {2} + bx)} , dx = { frac {{ sqrt { pi} } (2a + b ^ {2})} {4a ^ {5/2}}} e ^ { frac {b ^ {2}} {4a}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0 )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a4124875e31164bb24d6336c90e53bc52cd5b1)
![{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {3} e ^ {- (ax ^ {2} + bx)} , dx = { frac {{ sqrt { pi} } (6a + b ^ {2}) b} {8a ^ {7/2}}} e ^ { frac {b ^ {2}} {4a}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568dfd209a063111b62961ad5a6c71329069ca76)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { begin {cases} { dfrac { Gamma left ({ гидроразрыв {n + 1} {2}} right)} {2 left (a ^ { frac {n + 1} {2}} right)}} & (n> -1, a> 0) { dfrac {(2k-1) !!} {2 ^ {k + 1} a ^ {k}}} { sqrt { dfrac { pi} {a}}} & (n = 2k, k { text {integer}}, a> 0) { text {(!! - двойной факториал)}} { dfrac {k!} {2 (a ^ {k +1})}} & (n = 2k + 1, k { text {integer}}, a> 0) end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81a579ea2c48ea3ea0b3367387f8cb150bfcbe3e)
(Оператор
это Двойной факториал )
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} e ^ {- ax} , dx = { begin {cases} { dfrac { Gamma (n + 1)} {a ^ {n + 1}}} & (n> -1, operatorname {Re} (a)> 0) { dfrac {n!} {a ^ {n + 1}}} & (n = 0,1,2, ldots, operatorname {Re} (a)> 0) end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4ee138bba46ac2cccac62668472c45bbcab3ce)
![{ displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ {n} e ^ {- ax} , dx = { frac {n!} {a ^ {n + 1}}} left [1- e ^ {- a} sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {a ^ {i}} {i!}} right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92482c2e5d7502755c6da9b6f088ff00721580e1)
![{ displaystyle int _ {0} ^ {b} x ^ {n} e ^ {- ax} , dx = { frac {n!} {a ^ {n + 1}}} left [1- e ^ {- ab} sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {(ab) ^ {i}} {i!}} right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17026bf5a6616142c6b1a8f0392f3ceb373cbbd)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {b}} dx = { frac {1} {b}} a ^ {- { frac {1} {b} }} Gamma left ({ frac {1} {b}} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/520ba3106679a3134d097708f1920c93a7fa51da)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} e ^ {- ax ^ {b}} dx = { frac {1} {b}} a ^ {- { frac { n + 1} {b}}} Gamma left ({ frac {n + 1} {b}} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b472dd31344bfdeeb1d6b1129996af0083b324c)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax} sin bx , dx = { frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}} quad ( а> 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f8d0c56030576a9ea5c32fdcc26da56cf84bc7)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax} cos bx , dx = { frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}} quad ( а> 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ecb94f832c0bd6d7d22c0d1a6a0a2d05f982f9)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} xe ^ {- ax} sin bx , dx = { frac {2ab} {(a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2 }}} quad (а> 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4364f14319b127a45b9e81e92c7777ba6a850e2a)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} xe ^ {- ax} cos bx , dx = { frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {(a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2}}} quad (a> 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93ccc76421b3d124dcedd0972c92a9769063658)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} sin bx} {x}} , dx = arctan { frac {b} {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2db30c7b2a9469e9a5bfcbcf1e89ff008e0962)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x}} , dx = ln { frac {b} {a }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2175f6ab38d3bcbda8248ff8539181b3374e4aed)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x}} sin px , dx = arctan { frac {b } {p}} - arctan { frac {a} {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7649784af743a103173c755ff751b781f28a0707)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x}} cos px , dx = { frac {1} { 2}} ln { frac {b ^ {2} + p ^ {2}} {a ^ {2} + p ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ac535750fd596ab737ac5fcdc48fa925ac6842)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} (1- cos x)} {x ^ {2}}} , dx = operatorname {arccot} a - { frac {a} {2}} ln (a ^ {2} +1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a033cf3a2160c224e40b7658bd77e0a5bec45d04)
(я0 это модифицированная функция Бесселя первого вида)![{ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {x cos theta + y sin theta} d theta = 2 pi I_ {0} left ({ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc7da0077239149468cbcc5eb3576109c8d0d4d)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {s-1}} {e ^ {x} / z-1}} , dx = operatorname {Li} _ {s } (z) Gamma (s),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee62b8328a8aa0bb44009a1322c5980faefefd2)
куда
это Полилогарифм.
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin mx} {e ^ {2 pi x} -1}} , dx = { frac {1} {4}} coth { frac {m} {2}} - { frac {1} {2m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d62701d01afce173f25bba4aab3710da2c2eadf)
![{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x} ln x , dx = - gamma,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02c6790d290d5e94ef4a1ef9f049b1b66cc667ad)
куда
это Константа Эйлера – Маскерони что равно значению ряда определенных интегралов.
Наконец, хорошо известный результат,
(Для целых m, n)
куда
это Дельта Кронекера.
Смотрите также
дальнейшее чтение
внешняя ссылка