Вкус k · p теория возмущений используется для расчета структуры множественных вырожденных электронных зон в объеме и квантовая яма полупроводники. Метод является обобщением однополосного k· п теория.
В этой модели влияние всех остальных полос учитывается с помощью Löwdin метод возмущения.[1]
Фон
Все бэнды можно разделить на два класса:
- Класс А: шесть валентных зон (тяжелая дырка, легкая дырка, отщепленная зона и их спиновые аналоги) и две зоны проводимости.
- Класс B: все остальные группы.
Метод концентрируется на полосах в Класс А, и учитывает Класс B полосы пертурбативно.
Мы можем записать возмущенное решение
как линейная комбинация невозмущенных собственных состояний
:
![{ displaystyle phi = sum _ {n} ^ {A, B} a_ {n} phi _ {n} ^ {(0)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ecfb1344f261dcb1cfd82268e5f1f10747ab96)
Предполагая, что невозмущенные собственные состояния ортонормированы, собственное уравнение таково:
,
куда
.
Из этого выражения мы можем написать:
,
где первая сумма в правой части относится только к состояниям в классе A, а вторая сумма - по состояниям в классе B. Поскольку нас интересуют коэффициенты
за м в классе A мы можем исключить тех, кто находится в классе B, с помощью итерационной процедуры, чтобы получить:
,
![U _ {{mn}} ^ {{A}} = H _ {{mn}} + sum _ {{ alpha neq m}} ^ {{B}} { frac {H _ {{m alpha}} H _ {{ alpha n}}} {E-H _ {{ alpha alpha}}}} + sum _ {{ alpha, beta neq m, n; alpha neq beta}} { гидроразрыв {H _ {{m alpha}} H _ {{ alpha beta}} H _ {{ beta n}}} {(E-H _ {{ alpha alpha}}) (E-H _ {{ beta beta}})}} + ldots](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b53728672be3201e74252f679be36960543efde)
Эквивалентно для
(
):
![a _ {{n}} = sum _ {{n}} ^ {{A}} (U _ {{mn}} ^ {{A}} - E delta _ {{mn}}) a _ {{n} } = 0, m in A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55da82e280b4704b0f1b8fbf08bb1a9dda9fe59e)
и
.
Когда коэффициенты
принадлежат к классу А, определены так же
.
Уравнение Шредингера и базисные функции
В Гамильтониан с учетом спин-орбитального взаимодействия можно записать как:
,
куда
это Матрица спина Паули вектор. Подставляя в Уравнение Шредингера мы получаем
,
куда
![{ mathbf { Pi}} = { mathbf {p}} + { frac { hbar} {4m _ {{0}} ^ {{2}} c ^ {{2}}}} { bar { sigma}} times nabla V](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c966e661f24a201effa5d6c33228903a762fd6)
а гамильтониан возмущения можно определить как
![H '= { frac { hbar} {m_ {0}}} { mathbf {k}} cdot { mathbf { Pi}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a766edf4f797692403fdd2c609562002714b53)
Невозмущенный гамильтониан относится к системе спин-орбиты с краем зоны (для k= 0). На краю зоны зона проводимости Волны Блоха обладают s-подобной симметрией, тогда как состояния валентной зоны p-подобны (3-кратно вырождены без спина). Обозначим эти состояния как
, и
,
и
соответственно. Эти блоховские функции можно представить как периодическое повторение атомных орбиталей, повторяющееся с интервалами, соответствующими периоду решетки. Функцию Блоха можно расширить следующим образом:
,
куда j ' находится в классе A и
принадлежит классу B. Базисные функции могут быть выбраны
![u _ {{10}} ({ mathbf {r}}) = u _ {{el}} ({ mathbf {r}}) = left | S { frac {1} {2}}, { frac {1} {2}} right rangle = left | S uparrow right rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec06dbc6a1dcbc56e4103145b36d86d2938dcd92)
![u _ {{20}} ({ mathbf {r}}) = u _ {{SO}} ({ mathbf {r}}) = left | { frac {1} {2}}, { frac { 1} {2}} right rangle = { frac {1} {{ sqrt 3}}} | (X + iY) downarrow rangle + { frac {1} {{ sqrt 3}}} | Z uparrow rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d3e479b040d22e6118e96e0a04fd44b2056c4c)
![{ displaystyle u_ {30} ( mathbf {r}) = u_ {lh} ( mathbf {r}) = left | { frac {3} {2}}, { frac {1} {2} } right rangle = - { frac {1} { sqrt {6}}} | (X + iY) downarrow rangle + { sqrt { frac {2} {3}}} | Z uparrow rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b75e7d7af530f20c6ffb1bfd0d7c5bd3ec9a42)
![{ displaystyle u_ {40} ( mathbf {r}) = u_ {hh} ( mathbf {r}) = left | { frac {3} {2}}, { frac {3} {2} } right rangle = - { frac {1} { sqrt {2}}} | (X + iY) uparrow rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf3390c6aef9c628a534929e9c87d91a76ac9e9)
![u _ {{50}} ({ mathbf {r}}) = { bar {u}} _ {{el}} ({ mathbf {r}}) = left | S { frac {1} { 2}}, - { frac {1} {2}} right rangle = - | S downarrow rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2b130262637b63da14dfe34dec45a2b565fbb2)
![u _ {{60}} ({ mathbf {r}}) = { bar {u}} _ {{SO}} ({ mathbf {r}}) = left | { frac {1} {2 }}, - { frac {1} {2}} right rangle = { frac {1} {{ sqrt 3}}} | (X-iY) uparrow rangle - { frac {1} {{ sqrt 3}}} | Z downarrow rangle](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3465b331c9caee83d17333eef0986f63c76f687e)
![{ displaystyle u_ {70} ( mathbf {r}) = { bar {u}} _ {lh} ( mathbf {r}) = left | { frac {3} {2}}, - { frac {1} {2}} right rangle = { frac {1} { sqrt {6}}} | (X-iY) uparrow rangle + { sqrt { frac {2} {3} }}} | Z downarrow rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd04b6ded6e9b532fcb1a79859e5d185e1604245)
.
Используя метод Лёвдина, необходимо решить только следующую задачу на собственные значения
![sum _ {{j '}} ^ {{A}} (U _ {{jj'}} ^ {{A}} - E delta _ {{jj '}}) a _ {{j'}} ({ mathbf {k}}) = 0,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61cb1cde970b03a1d63d849ec416ef426fdec706)
куда
,
![H _ {{j gamma}} ^ {{'}} = left langle u _ {{j0}} right | { frac { hbar} {m_ {0}}} { mathbf {k}} cdot left ({ mathbf {p}} + { frac { hbar} {4m_ {0} c ^ {2}}} { bar { sigma}} times nabla V right) left | u _ {{ gamma 0}} right rangle приблизительно sum _ {{ alpha}} { frac { hbar k _ {{ alpha}}} {m_ {0}}} p _ {{j gamma }} ^ {{ alpha}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a8213d5fd7f6f023ab1b1bbacb292ea0caf6d4d)
Второй срок
можно пренебречь по сравнению с аналогичным членом с п вместо k. Как и в случае с одной полосой, мы можем написать для ![U _ {{jj '}} ^ {{A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a4098c0fbbb20b36e9be35ada48769aee74f119)
![D _ {{jj '}} Equiv U _ {{jj'}} ^ {{A}} = E _ {{j}} (0) delta _ {{jj '}} + sum _ {{ alpha beta}} D _ {{jj '}} ^ {{ alpha beta}} k _ {{ alpha}} k _ {{ beta}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab32e22f9986e3a5fbf86ebc7666d580398fc10)
![D _ {{jj '}} ^ {{ alpha beta}} = { frac { hbar ^ {2}} {2m_ {0}}} left [ delta _ {{jj'}} delta _ {{ alpha beta}} + sum _ {{ gamma}} ^ {{B}} { frac {p _ {{j gamma}} ^ {{ alpha}} p _ {{ gamma j ' }} ^ {{ beta}} + p _ {{j gamma}} ^ {{ beta}} p _ {{ gamma j '}} ^ {{ alpha}}} {m_ {0} (E_ { 0} -E _ {{ gamma}})}} right].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2027289efc750ad8091e5570a7c3d76899068d)
Теперь определим следующие параметры
![A_ {0} = { frac { hbar ^ {2}} {2m_ {0}}} + { frac { hbar ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}}} sum _ { { gamma}} ^ {{B}} { frac {p _ {{x gamma}} ^ {{x}} p _ {{ gamma x}} ^ {{x}}} {E_ {0} - E _ {{ gamma}}}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0146310c1bc4e9b88ff67b1af1233212a7c00106)
![B_ {0} = { frac { hbar ^ {2}} {2m_ {0}}} + { frac { hbar ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}}} sum _ { { gamma}} ^ {{B}} { frac {p _ {{x gamma}} ^ {{y}} p _ {{ gamma x}} ^ {{y}}} {E_ {0} - E _ {{ gamma}}}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e92b69b8b9b4e992f122c2509968adf245c4ea5)
![C_ {0} = { frac { hbar ^ {2}} {m_ {0} ^ {2}}} sum _ {{ gamma}} ^ {{B}} { frac {p _ {{x gamma}} ^ {{x}} p _ {{ gamma y}} ^ {{y}} + p _ {{x gamma}} ^ {{y}} p _ {{ gamma y}} ^ {{{ x}}} {E_ {0} -E _ {{ gamma}}}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2890670679d99a6c081d82deb419ab4fd0b373f1)
и параметры зонной структуры (или Параметры Латтинжера) можно определить как
![gamma _ {1} = - { frac {1} {3}} { frac {2m_ {0}} { hbar ^ {2}}} (A_ {0} + 2B_ {0}),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401f8dbc9d190a3e29d68412eeb89268cbdde17a)
![gamma _ {2} = - { frac {1} {6}} { frac {2m_ {0}} { hbar ^ {2}}} (A_ {0} -B_ {0}),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2372c6536d34d0d814df128b5eed38aab163488)
![gamma _ {3} = - { frac {1} {6}} { frac {2m_ {0}} { hbar ^ {2}}} C_ {0},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea1b30a93d22742c31825f1de52856618b059b9)
Эти параметры очень тесно связаны с эффективными массами дырок в различных валентных зонах.
и
описать связь
,
и
государства в другие государства. Третий параметр
связана с анизотропией зонной структуры вокруг
указать, когда
.
Явная матрица гамильтониана
Гамильтониан Латтинджера-Кона
можно явно записать в виде матрицы 8X8 (с учетом 8 зон - 2 проводимости, 2 тяжелых дырки, 2 легких дырки и 2 отщепленных)
![{ mathbf {H}} = left ({ begin {array} {cccccccc} E _ {{el}} & P_ {z} & { sqrt {2}} P_ {z} & - { sqrt {3} } P _ {{+}} & 0 & { sqrt {2}} P _ {{-}} & P _ {{-}} & 0 P_ {z} ^ {{ dagger}} & P + Delta & { sqrt {2 }} Q ^ {{ dagger}} & - S ^ {{ dagger}} / { sqrt {2}} & - { sqrt {2}} P _ {{+}} ^ {{ dagger}} & 0 & - { sqrt {3/2}} S & - { sqrt {2}} R E _ {{el}} & P_ {z} & { sqrt {2}} P_ {z} & - { sqrt {3}} P _ {{+}} & 0 & { sqrt {2}} P _ {{-}} & P _ {{-}} & 0 E _ {{el}} & P_ {z} & { sqrt {2} } P_ {z} & - { sqrt {3}} P _ {{+}} & 0 & { sqrt {2}} P _ {{-}} & P _ {{-}} & 0 E _ {{el}} & P_ {z} & { sqrt {2}} P_ {z} & - { sqrt {3}} P _ {{+}} & 0 & { sqrt {2}} P _ {{-}} & P _ {{-}} & 0 E _ {{el}} & P_ {z} & { sqrt {2}} P_ {z} & - { sqrt {3}} P _ {{+}} & 0 & { sqrt {2}} P_ { {-}} & P _ {{-}} & 0 E _ {{el}} & P_ {z} & { sqrt {2}} P_ {z} & - { sqrt {3}} P _ {{+}} & 0 & { sqrt {2}} P _ {{-}} & P _ {{-}} & 0 E _ {{el}} & P_ {z} & { sqrt {2}} P_ {z} & - { sqrt {3}} P _ {{+}} & 0 & { sqrt {2}} P _ {{-}} & P _ {{-}} & 0 end {array}} right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e67941bfa1b5d464564a18adac792dc3813aa42a)
Резюме
Рекомендации