Теорема Мальгранжа о подготовке - Malgrange preparation theorem

В математике Теорема Мальгранжа о подготовке является аналогом Подготовительная теорема Вейерштрасса для гладкие функции. Это было предположено Рене Том и доказано Б. Мальгранж (1962–1963, 1964, 1967 ).

Утверждение подготовительной теоремы Мальгранжа

Предположим, что ж(т,Икс) - гладкая комплексная функция от т∈р и Икс∈р^п около начала координат, и пусть k быть наименьшим целым таким, что

{ Displaystyle е (0,0) = 0, { partial f over partial t} (0,0) = 0, dots, { partial ^ {k-1} f over partial t ^ { k-1}} (0,0) = 0, { partial ^ {k} f over partial t ^ {k}} (0,0) neq 0.}

Тогда одна из форм подготовительной теоремы гласит, что около начала координат ж можно записать как произведение гладкой функции c которая отлична от нуля в нуле, и гладкая функция, которая как функция т является многочленом степени k. Другими словами,

{ Displaystyle е (т, х) = с (т, х) влево (т ^ {к} + а_ {к-1} (х) т ^ {к-1} + cdots + а_ {0} ( х) право)}

где функции c и а гладкие и c отлична от нуля в начале координат.

Вторая форма теоремы, иногда называемая Теорема Мазера о делении, является своего рода теоремой о "делении с остатком": она говорит, что если ж и k удовлетворяют условиям выше и г является гладкой функцией вблизи начала координат, то мы можем написать

{ displaystyle g = qf + r}

где q и р гладкие, и как функция т, р является многочленом степени меньше, чем k. Это означает, что

{ Displaystyle г (х) = сумма _ {0 leq j

для некоторых гладких функций р_j(Икс).

Две формы теоремы легко подразумевают друг друга: первая форма - это частный случай формы «деление с остатком», где г является т^k, а деление с остатком следует из первой формы теоремы, поскольку мы можем считать, что ж как функция т является многочленом степени k.

Если функции ж и г действительны, то функции c, а, q, и р также может считаться реальным. В случае подготовительной теоремы Вейерштрасса эти функции однозначно определяются формулой ж и г, но единственность больше не выполняется для подготовительной теоремы Мальгранжа.

Доказательство подготовительной теоремы Мальгранжа

Подготовительную теорему Мальгранжа можно вывести из подготовительной теоремы Вейерштрасса. Очевидный способ сделать это не работает: хотя гладкие функции имеют разложение в формальный степенной ряд в начале координат, а подготовительная теорема Вейерштрасса применяется к формальным степенным рядам, формальные степенные ряды обычно не сходятся к гладким функциям около начала координат. Вместо этого можно использовать идею разложения гладкой функции как суммы аналитических функций путем применения разбиения единицы к ее преобразованию Фурье. Доказательство в этом направлении см.Мазер 1968 ) или же (Хёрмандер 1983a, раздел 7.5)

Алгебраическая версия подготовительной теоремы Мальгранжа

Подготовительную теорему Мальгранжа можно переформулировать как теорему о модули над кольца гладких, реальных микробы. Если Икс это многообразие, с п∈Икс, позволять C^∞_п(Икс) обозначим кольцо действительных ростков гладких функций в п на Икс. Позволять M_п(Икс) обозначают единственное максимальный идеал из C^∞_п(Икс), состоящий из ростков, обращающихся в нуль в точке p. Позволять А быть C^∞_п(Икс) -модуль, и пусть ж:Икс → Y - гладкая функция между многообразиями. Позволять q = ж(п). ж индуцирует гомоморфизм колец ж^*:C^∞_q(Y) →C^∞_п(Икс) по составу справа с ж. Таким образом, мы можем просмотреть А как C^∞_q(Y) -модуль. Тогда подготовительная теорема Мальгранжа гласит, что если А является конечно порожденным C^∞_п(Икс) -модуль, то А является конечно порожденным C^∞_q(Y) -модуль тогда и только тогда, когда А/M_q(Y) A - конечномерное вещественное векторное пространство.

Теорема Мальгранжа о подготовке - Malgrange preparation theorem

Содержание

Утверждение подготовительной теоремы Мальгранжа

Доказательство подготовительной теоремы Мальгранжа

Алгебраическая версия подготовительной теоремы Мальгранжа

Рекомендации