Теорема Миттаг-Леффлерса - Mittag-Lefflers theorem - Wikipedia
В комплексный анализ, Теорема Миттаг-Леффлера касается существования мероморфные функции с предписанным полюса. И наоборот, его можно использовать для выражения любой мероморфной функции как суммы частичные фракции. Это сестра Теорема факторизации Вейерштрасса, который утверждает существование голоморфные функции с предписанным нули. Он назван в честь Гёста Миттаг-Леффлер.
Теорема
Позволять
быть открытый набор в
и
а закрыто дискретный подмножество. Для каждого
в
, позволять
быть полиномом от
. Есть мероморфная функция
на
так что для каждого
, функция
имеет только устранимая особенность в
. В частности, основная часть из
в
является
.
Один из возможных вариантов доказательства следующий. Если
конечно, достаточно взять
. Если
не конечно, рассмотрим конечную сумму
куда
конечное подмножество
. В то время как
не может сходиться как F подходы E, можно вычесть хорошо подобранные рациональные функции с полюсами вне D (предоставлено Теорема Рунге ) без изменения основных частей
и таким образом, чтобы гарантировать сходимость.
Пример
Предположим, что нам нужна мероморфная функция с простыми полюсами остаток 1 при всех натуральных числах. С обозначениями, как указано выше, позволяя
![p_ {k} = { frac {1} {z-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79bcef3ed31081f18c8158d889646e49ea281696)
и
, Теорема Миттаг-Леффлера утверждает (неконструктивно) существование мероморфной функции
с основной частью
в
для каждого положительного целого числа
. Этот
обладает желаемыми свойствами. Более конструктивно мы можем позволить
.
Эта серия сходится нормально на
(как можно показать с помощью М-тест ) в мероморфную функцию с желаемыми свойствами.
Полюсные разложения мероморфных функций
Вот несколько примеров полюсных разложений мероморфных функций:
![{ displaystyle tan (z) = sum limits _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac {8z} {(2n + 1) ^ {2} pi ^ {2} -4z ^ { 2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8857960bc9b419397468b3ee6c412075945b740)
![{ displaystyle csc (z) = sum _ {n in mathbb {Z}} { frac {(-1) ^ {n}} {zn pi}} = { frac {1} {z }} + 2z sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {1} {z ^ {2} - (n , pi) ^ {2}} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3e0e8bc87364a58231cfb0ab35b402df160ac62)
![{ displaystyle sec (z) Equiv - csc left (z - { frac { pi} {2}} right) = sum _ {n in mathbb {Z}} { frac { (-1) ^ {n-1}} {z- left (n + { frac {1} {2}} right) pi}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} (2n + 1) pi} {(n + { frac {1} {2}}) ^ {2} pi ^ {2} -z ^ {2}} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e8c233ce304733f2ee2dafc18764baf6879f801)
![{ Displaystyle cot (z) Equiv { frac { cos (z)} { sin (z)}} = sum _ {n in mathbb {Z}} { frac {1} {zn pi}} = { frac {1} {z}} + 2z sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {z ^ {2} - (k , pi) ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef1f4e5757bf03d91893576d8fc0bc5bb3c6c7e)
![{ displaystyle csc ^ {2} (z) = sum _ {n in mathbb {Z}} { frac {1} {(z-n , pi) ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b8e0d413086c1aa19af32ba44ef84ca524d4d18)
![{ displaystyle sec ^ {2} (z) = { dfrac {d} {dz}} tan (z) = sum limits _ {n = 0} ^ { infty} { dfrac {8 ( (2n + 1) ^ {2} pi ^ {2} + 4z ^ {2})} {((2n + 1) ^ {2} pi ^ {2} -4z ^ {2}) ^ {2 }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3488d6c41f4d0d710bc3cc906bf1e797d11e8065)
![{ displaystyle { frac {1} {z sin (z)}} = { frac {1} {z ^ {2}}} + sum _ {n neq 0} { frac {(-1 ) ^ {n}} { pi n (z- pi n)}} = { frac {1} {z ^ {2}}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} {( -1) ^ {n}} { frac {2} {z ^ {2} - (n , pi) ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/979f501fc62774f01a9654b22e35f6ee75e30dba)
Смотрите также
Рекомендации
внешняя ссылка