Пифагорейское поле - Pythagorean field - Wikipedia

В алгебре Пифагорейское поле это поле в котором каждая сумма двух квадратов является квадратом: эквивалентно Число Пифагора равно 1. A Пифагорейское расширение поля является расширением, полученным присоединением элемента для некоторых в . Итак, поле Пифагора - это одно закрыт под принимая пифагоровы расширения. Для любого поля есть минимальное пифагорово поле содержащий его, уникальный с точностью до изоморфизма, назвал его Пифагорейское замыкание.[1] В Поле гильберта - минимальное упорядоченное пифагорово поле.[2]

Характеристики

Каждый Евклидово поле (ан упорядоченное поле в котором все положительные элементы - квадраты) является упорядоченным полем Пифагора, но обратное неверно.[3] А квадратично замкнутое поле поле Пифагора, но не наоборот ( пифагорейский); однако не формально реальный Пифагорово поле квадратично замкнуто.[4]

В Кольцо Witt Пифагорова поля имеет порядок 2, если поле не формально реальный, и без кручения в противном случае.[1] Для поля существует точная последовательность с участием Кольца Витта

куда является фундаментальным идеалом кольца Витта [5] и обозначает его торсионная подгруппа (это просто нильрадикал из ).[6]

Эквивалентные условия

Следующие условия на поле F эквивалентны F будучи пифагорейцем:

Модели геометрии

Пифагоровы поля могут использоваться для построения моделей некоторых из Аксиомы Гильберта по геометрии (Иянага и Кавада 1980, 163 С). Координатная геометрия задается за Пифагорово поле удовлетворяет многим аксиомам Гильберта, таким как аксиомы инцидентности, аксиомы конгруэнтности и аксиомы параллелей. Однако в общем случае эта геометрия не должна удовлетворять всем аксиомам Гильберта, если только поле F имеет дополнительные свойства: например, если поле также упорядочено, то геометрия будет удовлетворять аксиомам упорядочения Гильберта, а если поле также является полным, геометрия будет удовлетворять аксиоме полноты Гильберта.

Пифагорейское замыкание неархимедово упорядоченное поле, например, пифагорейское замыкание поля рациональные функции в одной переменной по рациональным числам может использоваться для построения неархимедовых геометрий, удовлетворяющих многим аксиомам Гильберта, но не его аксиоме полноты.[10] Ден использовал такое поле для построения двух Самолеты Дена, примеры нелегандровская геометрия и полуевклидова геометрия соответственно, в которых есть много прямых, хотя точка не пересекает данную прямую, но где сумма углов треугольника не меньше π.[11]

Теорема Диллера – Дресса

Эта теорема утверждает, что если E/F конечный расширение поля, и E пифагорейский, значит, тоже F.[12] Как следствие, нет поле алгебраических чисел пифагорово, поскольку все такие поля конечны над Q, что не является пифагорейским.[13]

Суперпифагорейские поля

А суперпифагорейское поле F является формально реальным полем со свойством, что если S является подгруппой индекса 2 в F и не содержит −1, то S определяет порядок на F. Эквивалентное определение: F - формально реальное поле, в котором множество квадратов образует поклонник. Суперпифагорейское поле обязательно пифагорейское.[12]

Имеет место аналог теоремы Диллера – Дресса: если E/F является конечным расширением и E суперпифагорей, значит, тоже F.[14] В обратном направлении, если F суперпифагорейский и E формально реальное поле, содержащее F и содержится в квадратичном замыкании F тогда E суперпифагорейский.[15]

Примечания

  1. ^ а б Милнор и Хусемоллер (1973) стр. 71
  2. ^ Гринберг (2010)
  3. ^ Мартин (1998) стр. 89
  4. ^ Раджваде (1993) стр.230
  5. ^ Милнор и Хусемоллер (1973) стр. 66
  6. ^ Милнор и Хусемоллер (1973) стр. 72
  7. ^ Лам (2005) стр.410
  8. ^ Лам (2005) стр.293
  9. ^ Эфрат (2005) стр.178
  10. ^ (Иянага и Кавада 1980, 163 Д)
  11. ^ Ден (1900)
  12. ^ а б Лам (1983) стр.45
  13. ^ Лам (2005) стр.269
  14. ^ Лам (1983) стр.47
  15. ^ Лам (1983) с.48

Рекомендации