Сфериум - Spherium

Эта статья требует внимания специалиста по физике. Пожалуйста, добавьте причина или разговаривать в этот шаблон, чтобы объяснить проблему со статьей. ВикиПроект Физика может помочь нанять эксперта. (Октябрь 2009 г.)

"сферий"модель состоит из двух электроны застрял на поверхности сфера радиуса ${ displaystyle R}$. Его использовали Берри и его сотрудники. ^[1] понять как слабо, так и сильно коррелированные системы и предложить "альтернативную" версию Правило Хунда. Зайдль изучает эту систему в контексте теория функционала плотности (DFT) для разработки новых корреляционные функционалы в пределах адиабатическая связь.^[2]

Определение и решение

Электронный Гамильтониан в атомных единицах

${ displaystyle { hat {H}} = - { frac { nabla _ {1} ^ {2}} {2}} - { frac { nabla _ {2} ^ {2}} {2} } + { frac {1} {u}}}$

куда ${ displaystyle u}$ - межэлектронное расстояние, тогда для синглетных S-состояний можно показать^[3] что волновая функция ${ Displaystyle S (и)}$ удовлетворяет Уравнение Шредингера

${ displaystyle left ({ frac {u ^ {2}} {4R ^ {2}}} - 1 right) { frac {d ^ {2} S (u)} {du ^ {2}} } + left ({ frac {3u} {4R ^ {2}}} - { frac {1} {u}} right) { frac {dS (u)} {du}} + { frac {1} {u}} S (u) = ES (u)}$

Вводя безразмерную переменную ${ Displaystyle х = и / 2R}$, это становится Уравнение Гойна с особыми точками в ${ displaystyle x = -1,0, + 1}$. На основе известных решений уравнения Гойна ищем волновые функции вида

${ Displaystyle S (u) = сумма _ {к = 0} ^ { infty} s_ {k} , u ^ {k}}$

и подстановка в предыдущее уравнение дает отношение повторения

${ Displaystyle s_ {k + 2} = { frac {s_ {k + 1} + left [k (k + 2) { frac {1} {4R ^ {2}}} - E right] s_ {k}} {(k + 2) ^ {2}}}}$

с начальными значениями ${ displaystyle s_ {0} = s_ {1} = 1}$. Таким образом Като куспид является

${ displaystyle { frac {S '(0)} {S (0)}} = 1}$.

Волновая функция сводится к многочлен

${ Displaystyle S_ {n, m} (u) = sum _ {k = 0} ^ {n} s_ {k} , u ^ {k}}$

(куда ${ displaystyle m}$ количество корней между ${ displaystyle 0}$ и ${ displaystyle 2R}$) если и только если, ${ displaystyle s_ {n + 1} = s_ {n + 2} = 0}$. Таким образом, энергия ${ displaystyle E_ {n, m}}$ является корнем полиномиального уравнения ${ displaystyle s_ {n + 1} = 0}$ (куда ${ displaystyle deg s_ {n + 1} = lfloor (n + 1) / 2 rfloor}$) и соответствующий радиус ${ displaystyle R_ {n, m}}$ находится из предыдущего уравнения, которое дает

${ displaystyle R_ {n, m} ^ {2} E_ {n, m} = { frac {n} {2}} left ({ frac {n} {2}} + 1 right)}$

${ displaystyle S_ {n, m} (u)}$ - точная волновая функция ${ displaystyle m}$-е возбужденное состояние синглетной S-симметрии для радиуса ${ displaystyle R_ {n, m}}$.

Мы знаем из работ Лооса и Гилла ^[3] что ВЧ энергия низшего синглетного S-состояния равна ${ Displaystyle E _ { rm {HF}} = 1 / R}$. Отсюда следует, что точная корреляционная энергия для ${ Displaystyle R = { sqrt {3}} / 2}$ является ${ displaystyle E _ { rm {corr}} = 1-2 / { sqrt {3}} приблизительно -0,1547}$ что намного больше предельных энергий корреляции гелиеподобных ионов (${ displaystyle -0.0467}$) или атомы Гука (${ displaystyle -0,0497}$). Это подтверждает мнение о том, что корреляция электронов на поверхности сферы качественно отличается от корреляции в трехмерном физическом пространстве.

Сферий на 3-х сферах

Лоос и Гилл^[4] рассмотрел случай двух электронов, ограниченных 3-сфера кулоновское отталкивание. Они сообщают об энергии основного состояния (${ displaystyle -.0476}$).

Смотрите также

• Список квантово-механических систем с аналитическими решениями

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Loos, P.-F .; Гилл, П. М. У. (2009), "Два электрона на гиперсфере: квазиточно решаемая модель", Письма с физическими проверками, 103 (12): 123008, arXiv:1002.3400, Bibcode:2009ПхРвЛ.103л3008Л, Дои:10.1103 / Physrevlett.103.123008, PMID  19792435, S2CID  11611242