Сложение конечной последовательности чисел
Арифметические операции |
Добавление (+) |
---|
| ![{ displaystyle scriptstyle left. { begin {matrix} scriptstyle { text {term}} , + , { text {term}} scriptstyle { text {summand}} , + , { text {summand}} scriptstyle { text {addend (в широком смысле)}} , + , { text {addend (в широком смысле)}} scriptstyle { text {augend}} , + , { text {addend (в строгом смысле)}} end {matrix}} right } , = ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/611dd0641bbc51169c6ac815a74256fd6b371b52) | ![scriptstyle { text {сумма}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8609baca9fdbc4c529f5894884a08122d695dad) |
---|
Вычитание (−) |
---|
| ![{ displaystyle scriptstyle left. { begin {matrix} scriptstyle { text {term}} , - , { text {term}} scriptstyle { text {minuend}} , - , { text {subtrahend}} end {matrix}} right } , = ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2780b756445a5f8f95b16c33e3b924f976958ea0) | ![scriptstyle { text {разница}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ac22c4e24eef2036cff5bfea924cc0dbb30c5d8) |
---|
Умножение (×) |
---|
| ![{ displaystyle scriptstyle left. { begin {matrix} scriptstyle { text {factor}} , times , { text {factor}} scriptstyle { text {multiplier}} , раз , { text {multiplicand}} end {matrix}} right } , = ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93f7b476e32221c7b05d356289c8085aef54059b) | ![scriptstyle { text {продукт}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c8b7509b8be1043622cb7b1b9a36ca8bfc2616) |
---|
Разделение (÷) |
---|
| ![{ displaystyle scriptstyle left. { begin {matrix} scriptstyle { frac { scriptstyle { text {divisor}}} { scriptstyle { text {divisor}}}} scriptstyle { text { }} scriptstyle { frac { scriptstyle { text {numerator}}} { scriptstyle { text {denominator}}}} end {matrix}} right } , = ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d920dd1c0b257a17902ee5c232671d872d6c27d) | ![{ displaystyle { begin {matrix} scriptstyle { text {дробь}} scriptstyle { text {quotient}} scriptstyle { text {ratio}} end {matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ecf54ec7951242b6ad2211379c9f518f7c8a8cb) |
---|
Возведение в степень |
---|
| ![{ displaystyle scriptstyle { text {base}} ^ { text {exponent}} , = ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7614b27f61a9e09906b7682425b9e7a1ce7e24a0) | ![scriptstyle { text {power}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0d0a9fbffb659c0055d5ee6fde3f7f28e96f45c) |
---|
пй корень (√) |
---|
| ![{ displaystyle scriptstyle { sqrt [{ text {степень}}] { scriptstyle { text {radicand}}}} , = ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5582d567e7e7fbcdb728291770905e09beb0ea18) | ![scriptstyle { text {корень}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a015c1122190da3f1f1732d88b8bb03a8d7eb91) |
---|
Логарифм (бревно) |
---|
| ![{ Displaystyle scriptstyle log _ { text {base}} ({ text {антилогарифм}}) , = ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2435266fcae4aa91d3d70a74bb91b5b35ef52edd) | ![scriptstyle { text {логарифм}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe5d50baa86b950ff6d15760b7a38df1f8d8c868) |
---|
|
В математика, суммирование это добавление из последовательность любого вида числа, называется добавляет или же слагаемые; результат их сумма или же общий. Помимо чисел, можно суммировать и другие типы значений: функции, векторов, матрицы, многочлены и вообще элементы любого типа математические объекты на котором операция обозначенный "+" определен.
Обобщения бесконечные последовательности называются серии. Они включают концепцию предел, и не рассматриваются в этой статье.
Суммирование явной последовательности обозначается как последовательность сложений. Например, суммирование [1, 2, 4, 2] обозначается 1 + 2 + 4 + 2, и приводит к 9, то есть 1 + 2 + 4 + 2 = 9. Поскольку сложение ассоциативный и коммутативный, скобки не нужны, и результат будет одинаковым независимо от порядка слагаемых. Суммирование последовательности только одного элемента приводит к получению самого этого элемента. Суммирование пустой последовательности (последовательности с нулевым элементом) по соглашению приводит к 0.
Очень часто элементы последовательности определяются с помощью регулярного шаблона как функция их места в последовательности. Для простых шаблонов суммирование длинных последовательностей может быть представлено с заменой большинства слагаемых на эллипсы. Например, суммирование первых 100 натуральных чисел может быть записано как 1 + 2 + 3 + 4 + ⋅⋅⋅ + 99 + 100. В противном случае суммирование обозначается с помощью Σ обозначение, куда
это увеличенная столица Греческая буква сигма. Например, сумма первых п натуральные числа можно обозначить как ![{ displaystyle textstyle sum _ {i = 1} ^ {n} i.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cd95a05cba957de9d031694f94549bdeeb5ab5)
Для длинных суммирований и суммирований переменной длины (определяемых с помощью эллипсов или обозначений Σ) общая проблема - найти выражения в закрытой форме за результат. Например,[а]
![{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} i = { frac {n (n + 1)} {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86ae096cd7fe1c7bb92b333f9d231a1ef7edb481)
Хотя такие формулы не всегда существуют, было обнаружено множество формул суммирования, при этом некоторые из наиболее распространенных и элементарных из них перечислены в оставшейся части этой статьи.
Обозначение
Обозначение заглавной буквы
Символ суммирования
В математической нотации используется символ, который компактно представляет собой суммирование многих похожих терминов: символ суммирования,
, увеличенная форма прямой заглавной греческой буквы Сигма. Это определяется как
![{ displaystyle sum _ {я mathop {=} m} ^ {n} a_ {i} = a_ {m} + a_ {m + 1} + a_ {m + 2} + cdots + a_ {n- 1} + a_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8461090bf2c187f304e8f3c3ade683c197f397)
куда я это индекс суммирования; ая индексированная переменная, представляющая каждый член суммы; м это нижняя граница суммирования, и п это верхняя граница суммирования. "я = м"под символом суммирования означает, что индекс я начинается равным м. Индекс, я, увеличивается на единицу для каждого последующего члена, останавливаясь, когда я = п.[b]
Это читается как "сумма ая, из я = м к п".
Вот пример, показывающий суммирование квадратов:
![{ displaystyle sum _ {i = 3} ^ {6} i ^ {2} = 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 5 ^ {2} + 6 ^ {2} = 86.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a60f7e2cea126d44723cff96cdc6cc57316224d1)
В общем, в то время как любая переменная может использоваться в качестве индекса суммирования (при условии, что не возникает двусмысленности), некоторые из наиболее распространенных включают буквы, такие как
,
и
.[1]
В качестве альтернативы, индекс и границы суммирования иногда не включаются в определение суммирования, если контекст достаточно ясен. Это особенно актуально, когда индекс работает от 1 до n.[2] Например, можно написать так:
![sum a_ {i} ^ {2} = sum _ {i { mathop {=}} 1} ^ {n} a_ {i} ^ {2}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8cd6b0bf79f0e220c20a1955f9f1f46bba5f7b8)
Часто встречаются обобщения этой нотации, в которых предоставляется произвольное логическое условие, а сумма предназначена для взятия всех значений, удовлетворяющих условию. Например:
![сумма _ {0 leq k <100} f (k)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13984e3873503b898daa80dda0e048f468d04d4)
это сумма
по всем (целые числа)
в указанном диапазоне,
![sum _ {x { mathop { in}} S} f (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d9d324ac0486ac3d20362adf3daf1802a46ba8)
это сумма
по всем элементам
в наборе
, и
![сумма _ {d | n} ; mu (d)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2359c4a55afc821f10d4c31d94b508088c5275b0)
это сумма
по всем положительным целым числам
разделение
.[c]
Есть также способы обобщить использование многих сигма-знаков. Например,
![{ displaystyle sum _ {я, j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ff3ebc669c5a10e68a423d8721e52c82d7e3ecf)
такой же как
![{ displaystyle sum _ {i} sum _ {j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af2e5ea3563268f4455aba7dba45c93b3a91fa72)
Аналогичное обозначение применяется при обозначении товар последовательности, которая аналогична ее суммированию, но использует операцию умножения вместо сложения (и дает 1 для пустой последовательности вместо 0). Используется такая же базовая структура с
, увеличенная форма греческой заглавной буквы число Пи, заменив
.
Особые случаи
Можно суммировать менее 2 чисел:
- Если в суммировании одно слагаемое
, то оценочная сумма равна
. - Если в суммировании нет слагаемых, то вычисленная сумма равна нуль, потому что ноль - это личность для дополнения. Это известно как пустая сумма.
Эти вырожденные случаи обычно используются только тогда, когда запись суммирования дает вырожденный результат в частном случае, например, если
в приведенном выше определении в сумме есть только один член; если
, то его нет.
Формальное определение
Суммирование может быть определено рекурсивно следующим образом
, за б < а.
, за б ≥ а.
Обозначения теории меры
В обозначениях мера и интеграция теории, сумма может быть выражена как определенный интеграл,
![sum _ {k { mathop {=}} a} ^ {b} f (k) = int _ {[a, b]} f , d mu](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df03fc79c21c319ce553adbbd688204560d2f47)
куда
это подмножество целые числа из
к
, и где
это счетная мера.
Исчисление конечных разностей
Учитывая функцию ж который определен над целыми числами в интервал [м, п], выполняется следующее уравнение:
![{ Displaystyle f (n) -f (m) = sum _ {i = m} ^ {n-1} (f (i + 1) -f (i)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60002f4107f9502cb4c395b4ace12a0b935fe391)
Это аналог основная теорема исчисления в исчисление конечных разностей, в котором говорится, что:
![{ displaystyle f (n) -f (m) = int _ {m} ^ {n} f '(x) , dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2560410e2844a40943b2a3a3e5e5bf9dd50eb35)
куда
![{ displaystyle f '(x) = lim _ {h to 0} { frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/365388f33bd9aece1a578a9a1fb3021d1eddc7e4)
это производная из ж.
Пример применения приведенного выше уравнения следующий:
![{ displaystyle n ^ {k} = sum _ {i = 0} ^ {n-1} left ((i + 1) ^ {k} -i ^ {k} right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/672d37af86aa4df4b3d9ba6bbe9bde7b8d0e8b2e)
С помощью биномиальная теорема, это можно переписать как:
![{ displaystyle n ^ {k} = sum _ {я = 0} ^ {n-1} left ( sum _ {j = 0} ^ {i-1} { binom {k} {j}} i ^ {j} right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5a2b7a450d3a63bc5217992d08347718d8be5b)
Приведенная выше формула чаще используется для инвертирования оператор разницы
, определяется:
![{ Displaystyle Delta (е) (п) = е (п + 1) -f (п),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d9424a84b32fd0e549b16230f1131e65ca46278)
куда ж - функция, определенная на неотрицательных целых числах. Таким образом, для такой функции ж, проблема состоит в том, чтобы вычислить антиразличие из ж, функция
такой, что
. То есть,
Эта функция определена с точностью до константы и может быть выбрана как[3]
![{ Displaystyle F (n) = sum _ {i = 0} ^ {n-1} f (i).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11be77edc0ceecc946f40d1e4f2e07dea4fb696)
Не всегда есть выражение в закрытой форме для такого суммирования, но Формула Фаульхабера предоставляет закрытую форму в случае, когда
и, по линейность, для каждого полиномиальная функция из п.
Аппроксимация определенными интегралами
Многие такие приближения могут быть получены следующей связью между суммами и интегралы, что справедливо для любого увеличение функция ж:
![int _ {s = a-1} ^ {b} f (s) ds leq sum _ {i = a} ^ {b} f (i) leq int _ {s = a} ^ { б + 1} f (s) ds.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c32dbf484a71e1066125787764e57aee8d155a)
и для любого уменьшение функция ж:
![int _ {s = a} ^ {b + 1} f (s) ds leq sum _ {i = a} ^ {b} f (i) leq int _ {s = a-1} ^ {b} f (s) ds.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49351bca19c854fba400b48116b0517331a03440)
Для более общих приближений см. Формула Эйлера – Маклорена.
Для суммирования, в котором слагаемое задается (или может быть интерполировано) интегрируемый функции индекса, суммирование можно интерпретировать как Сумма Римана входящие в определение соответствующего определенного интеграла. Поэтому можно ожидать, например, что
![{ frac {ba} {n}} sum _ {i = 0} ^ {n-1} f left (a + i { frac {ba} {n}} right) приблизительно int _ { a} ^ {b} f (x) dx,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11252974eb35f52c8beff15f0de59f5c1719a37)
так как правая часть по определению является пределом для
левой стороны. Однако при заданном суммировании п фиксировано, и мало что можно сказать об ошибке в приведенном выше приближении без дополнительных предположений о ж: ясно, что для сильно осциллирующих функций сумма Римана может быть сколь угодно далека от интеграла Римана.
Идентичности
В приведенных ниже формулах используются конечные суммы; для бесконечного суммирования или конечного суммирования выражений, содержащих тригонометрические функции или другой трансцендентные функции, видеть список математических рядов.
Общая идентичность
(распределенность )[4]
(коммутативность и ассоциативность )[4]
(сдвиг индекса)
для биекция σ из конечного множества А на набор B (изменение индекса); это обобщает предыдущую формулу.
(разбивая сумму, используя ассоциативность )
(вариант предыдущей формулы)
(сумма от первого члена до последнего равна сумме от последнего до первого)
(частный случай формулы выше)
(снова коммутативность и ассоциативность)
(еще одно приложение коммутативности и ассоциативности)
(разбиение суммы на нечетную и четную части для четных индексов)
(разбиение суммы на нечетные и четные части, для нечетных индексов)
(распределенность )
(дистрибутивность допускает факторизацию)
(в логарифм продукта - это сумма логарифмов факторов)
(в экспоненциальный суммы - произведение экспоненты слагаемых)
Степени и логарифм арифметических прогрессий
для каждого c это не зависит от я
(Сумма простейшего арифметическая прогрессия, состоящий из n первых натуральные числа.)[3]:52
(Сумма первых нечетных натуральных чисел)
(Сумма первых четных натуральных чисел)
(Сумма логарифмы логарифм произведения)
(Сумма первого квадраты, видеть квадратно-пирамидальное число.) [3]:52
(Теорема Никомаха ) [3]:52
В более общем смысле Формула Фаульхабера
![{ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {p} = { frac {n ^ {p + 1}} {p + 1}} + { frac {1} {2}} n ^ {p} + sum _ {k = 2} ^ {p} { binom {p} {k}} { frac {B_ {k}} {p-k + 1}} , n ^ { п-к + 1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a02afa28e634acc343431a2af6e8d571954450a)
куда
обозначает Число Бернулли, и
это биномиальный коэффициент.
Индекс суммирования в показателях
В следующих итогах а предполагается отличным от 1.
(сумма геометрическая прогрессия )
(особый случай для а = 1/2)
(а умноженное на производную по а геометрической прогрессии)![{ displaystyle { begin {align} sum _ {i = 0} ^ {n-1} left (b + id right) a ^ {i} & = b sum _ {i = 0} ^ { n-1} a ^ {i} + d sum _ {i = 0} ^ {n-1} ia ^ {i} & = b left ({ frac {1-a ^ {n}} {1-a}} right) + d left ({ frac {a-na ^ {n} + (n-1) a ^ {n + 1}} {(1-a) ^ {2}} } right) & = { frac {b (1-a ^ {n}) - (n-1) da ^ {n}} {1-a}} + { frac {da (1-a ^ {п-1})} {(1-а) ^ {2}}} конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3047970d6c1db46da6c2ced0607db8badb7cc43)
- (сумма арифметико-геометрическая последовательность )
Биномиальные коэффициенты и факториалы
Существует очень много тождеств суммирования с биномиальными коэффициентами (целая глава Конкретная математика посвящен только основным техникам). Вот некоторые из самых основных из них.
Используя биномиальную теорему
в биномиальная теорема
особый случай, когда а = б = 1
, частный случай, когда п = а = 1 – б, что для
выражает сумму биномиальное распределение
стоимость в а = б = 1 из производная относительно а биномиальной теоремы
стоимость в а = б = 1 из первообразный относительно а биномиальной теоремы
Вовлечение чисел перестановки
В следующих итогах
это количество k-перестановки п.
![{ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} {} _ {i} P_ {k} {n choose i} = {} _ {n} P_ {k} (2 ^ {n-k})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10fd568fb5ef9bb3e8efd27081947bf0dca6c35e)
![sum _ {i = 1} ^ {n} {} _ {i + k} P_ {k + 1} = sum _ {i = 1} ^ {n} prod _ {j = 0} ^ {k } (я + j) = { frac {(n + k + 1)!} {(n-1)! (k + 2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5f56cdd4a9676cd12547aa1dbb0109abfd2e95)
, где и
обозначает функция пола.
Другие
![{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {m} left ({ begin {array} {c} n + k n end {array}} right) = left ({ begin {массив} {c} n + m + 1 n + 1 end {array}} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32dc9b73e3fb5776bc96e74450b65b0ec9d1ea82)
![{ displaystyle sum _ {я = k} ^ {n} {я выбрать k} = {n + 1 выбрать k + 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6d23531aa2d78f6963214923fd13190eebecd44)
![sum _ {i = 0} ^ {n} i cdot i! = (n + 1)! - 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51359f8521884a596f1d635bcde3e25f898eb411)
![sum _ {i = 0} ^ {n} {m + i-1 choose i} = {m + n choose n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ea4e121ef0e9b2e1def07ba14dcb18bbe038f7)
![{ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} {n select i} ^ {2} = {2n choose n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebcead03c71f472bd96922c3c2cec87fa95bb16d)
![{ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {1} {i!}} = { frac { lfloor n! ; e rfloor} {n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26fc92fc0826d30f9f9dd5c1a8fc66c2b629c6f6)
Гармонические числа
(это пth номер гармоники )
(это обобщенный номер гармоники )
Темпы роста
Следующие полезные приближения (с помощью тета-запись ):
серьезно c больше чем -1
(Видеть Номер гармоники )
серьезно c больше 1
за неотрицательный настоящий c
для неотрицательного реального c, d
для неотрицательного реального б > 1, c, d
Смотрите также
Примечания
Источники
внешняя ссылка