Задача трех детекторов и метод Ньюэллса - Three-detector problem and Newells method - Wikipedia

В Задача трех детекторов[1] это проблема теории транспортных потоков. Дана однородная автострада, и автомобиль учитывается на двух станциях обнаружения. Мы ищем количество машин в каком-то промежуточном месте. Этот метод может применяться для обнаружения и диагностики инцидентов путем сравнения наблюдаемых и прогнозируемых данных, поэтому важно реалистичное решение этой проблемы. Ньюэлл Г.Ф.[2][3][4] предложил простой способ решения этой проблемы. В Метод Ньюэлла, можно получить кумулятивную кривую подсчета (N-образную кривую) для любого промежуточного местоположения, просто сдвинув N-кривые восходящего и нисходящего детекторов. Метод Ньюэлла была разработана до того, как была предложена вариационная теория транспортного потока для систематического учета транспортных средств.[5][6][7] В этой статье показано, как Метод Ньюэлла вписывается в контекст вариационной теории.

Частный случай для демонстрации метода Ньюэлла

Предположение. В этом частном случае мы используем треугольную фундаментальную диаграмму (TFD) с тремя параметрами: скорость свободного потока , скорость волны -w и максимальная плотность (см. рисунок 1). Кроме того, мы рассмотрим длительный период исследования, когда трафик мимо восходящего детектора (U) не ограничен, а трафик мимо нисходящего детектора (D) ограничен, так что волны от обеих границ указывают в пространство решения (t, x) (см. Рисунок 2) .

Задача трех детекторов - вычислить транспортное средство в общей точке (P) на «мировой линии» детектора M (см. Рисунок 2). Восходящий поток. С состояние выше по течению не перегружено, должна быть характеристика с наклоном который достигает P от расположенного выше детектора. Такая волна должна излучаться раз раньше, в точке P 'на рисунке. С номер транспортного средства не изменяется по этой характеристике, мы видим, что номер транспортного средства на M-детекторе, рассчитанный из условий выше по потоку, такой же, как тот, который наблюдается на верхнем детекторе единицы времени раньше. С не зависит от состояния трафика (это константа), этот результат эквивалентен сдвиг сглаженной N-образной кривой верхнего детектора (кривая U на рисунке 3) вправо на величину .

Вниз по течению. Так же, поскольку состояние перед детектором ниже по потоку поставлено в очередь, будет волна, достигающая P из местоположения со скоростью волны . В изменять в обозначении транспортного средства, эта характеристика может быть получена из конструкции движущегося наблюдателя на фиг. 4 для наблюдателя, движущегося вместе с волной. В нашем частном случае наклонная линия, соответствующая наблюдателю, параллельна перегруженной части TFD. Это означает, что поток наблюдателя не зависит от состояния трафика и принимает значение: . Поэтому в время что требуется, чтобы волна достигла среднего места, , изменение считать является ; то есть изменение количества равно количеству автомобилей, которые попадают между M и D при плотности заторов. Этот результат эквивалентен сдвиг D-кривой вправо единиц и выше единицы.

Фактическое количество на M. Принимая во внимание принцип минимума Ньюэлла-Люка, мы видим, что фактический счет в M должен быть нижней огибающей U'- и D'-кривых. Это темные кривые M (t). В перекрестки U'- и D'-кривых обозначают прохождение ударной волны над детектором; то есть времена, когда переходы между состояниями в очереди и без очереди происходят, когда очередь продвигается и отступает через средний детектор. В площадь между U'- и M-кривыми - задержка перед точкой M, время поездки - горизонтальное расстояние между кривыми U (t), M (t) и D (t), накопление задается вертикальными расстояниями и т. д.

Математическое выражение. В терминах функции N (t, x) и положения детектора (, , ) следующее:

куда и .

Основные принципы вариационной теории (ВТ)

Цель. Предположим, мы знать количество транспортных средств (N) вдоль границы в пространственно-временной области, и мы находясь в поиске количество транспортных средств в общей точке P (обозначается как ) за этой границей в сторону увеличения времени (см. рисунок 5).[8]

Снова предположим, что наблюдатель начинает движение от границы к точке P по пути L. Мы знаем номер транспортного средства, которое видит наблюдатель, . Затем мы разбиваем путь наблюдателя на небольшие участки (например, тот, который показан между A и B) и отмечаем, что мы также знаем максимальное количество транспортных средств, которое может пройти наблюдателя вдоль этого небольшого участка, . Формула относительной емкости говорит нам, что это: . Для TFD и использования для наклона отрезка AB, можно записать как:

Итак, если мы теперь добавим номер транспортного средства на границе к сумме всех вдоль пути L получаем оценку сверху для . Эта верхняя граница применяется к любому наблюдателю, который движется со скоростью в диапазоне . Таким образом, мы можем написать:

Уравнения (1) и (2) основаны на ограничении относительной мощности, которое само следует из закона сохранения.

Принцип максимума. В нем говорится, что - максимально возможное значение с учетом ограничений емкости. Таким образом, рецепт VT:

Уравнение (4) представляет собой задачу поиска кратчайшего пути (т. Е. Вариационного исчисления) с как функция стоимости. Оказывается, она дает то же решение, что и теория кинематических волн.

Обобщенное решение

 Три шага: 1. Найдите минимальное количество исходящих,  2. Найдите минимальное количество нисходящих потоков,  3. Выберите меньшее из двух, 

Шаг 1

Все возможные прямые линии наблюдателя между границей выше по потоку и точкой P должны быть построены со скоростью наблюдателя меньше скорости свободного потока:

куда за и

Таким образом, нам нужно минимизировать ; т.е.

С , мы видим, что целевая функция не возрастает и поэтому . Таким образом, Q следует разместить на и у нас есть:

Таким образом,

Шаг 2

У нас есть:Повторите те же шаги, чтобы найти сводится к минимуму, когда . И в момент мы получили:

Поскольку ФД треугольная, . Следовательно, (8) сводится к:

Шаг 3

Чтобы получить решение, мы теперь выбираем меньшее из и .

Это рецепт Ньюэлла для решения проблемы трех детекторов.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Даганзо, Карлос. 1997. Основы транспортно-дорожной работы. Оксфорд: Пергамон.
  2. ^ Ньюэлл, Г. Ф. 1993. "Упрощенная теория кинематических волн в дорожном движении. Часть I, Общая теория". Транспортные исследования. Часть B, Методологическая. 27Б (4).
  3. ^ Ньюэлл, Г. Ф. 1993. "Упрощенная теория кинематических волн в дорожном движении. Часть II. Очереди на узких местах на автомагистралях". Транспортные исследования. Часть B, Методологическая. 27Б (4).
  4. ^ Ньюэлл, Г. Ф. 1993. "Упрощенная теория кинематических волн в дорожном движении. Часть III. Многопунктовые потоки". Транспортные исследования. Часть B, Методологическая. 27Б (4).
  5. ^ Даганцо, Карлос Ф. 2005. "Вариационная формулировка кинематических волн: методы решения". Транспортные исследования. Часть B, Методологическая. 39Б (10).
  6. ^ Даганзо, Карлос Ф. 2005. "Вариационная формулировка кинематических волн: основная теория и сложные граничные условия". Транспортные исследования. Часть B, Методологическая. 39Б (2).
  7. ^ Даганзо, Карлос Ф. 2006. "К вариационной теории транспортного потока: корректность, двойственность и приложения". Сети и гетерогенные среды. 1 (4).
  8. ^ Даганзо, Карлос Ф. Конспекты лекций: Эксплуатация транспортных средств. Составлено Offer Grembek