Формулы о векторах в трехмерном евклидовом пространстве
Приведенные ниже отношения применяются к векторов в трехмерном Евклидово пространство.[1] Некоторые, но не все, распространяются на векторы более высоких размерностей. В частности, векторное произведение векторов определяется только в трех измерениях (но см. Семимерное перекрестное произведение ).
Величины
Величина вектора А определяется его тремя компонентами вдоль трех ортогональных направлений, используя Теорема Пифагора:
![{ Displaystyle | mathbf {A} | ^ {2} = A_ {1} ^ {2} + A_ {2} ^ {2} + A_ {3} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d41e04d2dd720d9b4de7e66c2c8bcd2a5f67d5)
Величину также можно выразить с помощью скалярное произведение:
![{ Displaystyle | mathbf {A} | ^ {2} = mathbf {A cdot A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5af8409f17352321bd889528f7bb003625bea5e0)
Неравенства
; Неравенство Коши – Шварца в трех измерениях
; то неравенство треугольника в трех измерениях
; то обратное неравенство треугольника
Здесь обозначение (А · Б) обозначает скалярное произведение векторов А и B.
Углы
Векторное произведение и скалярное произведение двух векторов определяют угол между ними, скажем θ:[1][2]
![sin theta = frac { | mathbf {A times B} |} { | mathbf A | | mathbf B |} (- pi < theta le pi)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0118b869f07a71c7d8218bc8480190edd7d08dd7)
Чтобы удовлетворить правило правой руки, при положительном θ вектор B против часовой стрелки от А, а при отрицательных θ - по часовой стрелке.
![cos theta = frac { mathbf {A cdot B}} { | mathbf A | | mathbf B |} (- pi < theta le pi)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cae6c4c827fa3bb5d4110131ce8e3bb1bf4c1f9)
Здесь обозначение A × B обозначает вектор перекрестное произведение векторов А и B. Пифагорейская тригонометрическая идентичность затем предоставляет:
![| mathbf {A times B} | ^ 2 + ( mathbf {A cdot B}) ^ 2 = | mathbf A | ^ 2 | mathbf B | ^ 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b10311635df5c63c6c2117fa896c6b3e8f96772)
Если вектор А = (АИкс, Ау, Аz) составляет углы α, β, γ с ортогональным набором Икс-, у- и z-топоры, то:
![cos alpha = frac {A_x} { sqrt {A_x ^ 2 + A_y ^ 2 + A_z ^ 2}} = frac {A_x} { | mathbf A |} ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9d0f8d7c6f72ef287d1b2750e32f2000e5b624)
и аналогично для углов β, γ. Как следствие:
![mathbf A = | mathbf A | left ( cos alpha hat { mathbf i} + cos beta hat { mathbf j} + cos gamma hat { mathbf k} right) ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1ae4ed25f6e2380f3765b3cc24bb195ee77983)
с
единичные векторы вдоль направлений осей.
Площади и объемы
Площадь Σ параллелограмм с боков А и B содержащий угол θ:
![Sigma = AB sin theta ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35cc77573a324bd699f34d57368a064d4944de4e)
который будет распознан как величина векторного векторного произведения векторов А и B лежащие по сторонам параллелограмма. То есть:
![Sigma = | mathbf {A times B} | = sqrt { | mathbf A | ^ 2 | mathbf B | ^ 2 - ( mathbf {A cdot B}) ^ 2} .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e049c4ab019d438600290030ae31b0aa2da168a1)
(Если А, B являются двумерными векторами, это равно определителю матрицы 2 × 2 со строками А, B.) Квадрат этого выражения равен:[3]
![Sigma ^ 2 = ( mathbf {A cdot A}) ( mathbf {B cdot B}) - ( mathbf {A cdot B}) ( mathbf {B cdot A}) = Gamma ( mathbf A, mathbf B) ,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d0f5a236822d5daaad87baec36770de1cf90a4)
где Γ (А, B) это Определитель грамма из А и B определяется:
![Gamma ( mathbf A, mathbf B) = begin {vmatrix} mathbf {A cdot A} & mathbf {A cdot B}
mathbf {B cdot A} & mathbf {B cdot B} end {vmatrix} .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c7362cc118b4f637004d1e9e18221d292eedd1c)
Аналогичным образом квадрат объема V из параллелепипед натянутая на три вектора А, B, C дается определителем Грама трех векторов:[3]
![{ Displaystyle V ^ {2} = Gamma ( mathbf {A}, mathbf {B}, mathbf {C}) = { begin {vmatrix} mathbf {A cdot A} & mathbf {A cdot B} & mathbf {A cdot C} mathbf {B cdot A} & mathbf {B cdot B} & mathbf {B cdot C} mathbf {C cdot A} & mathbf {C cdot B} & mathbf {C cdot C} end {vmatrix}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04df1eed5b5ab4094eb8d23ff91f1e8180bbbc7)
С А, ДО Н.Э - трехмерные векторы, это равно квадрату скалярное тройное произведение
ниже.
Этот процесс можно расширить до п-размеры.
Сложение и умножение векторов
Некоторые из следующих алгебраических соотношений относятся к скалярное произведение и перекрестное произведение векторов.[1]
; коммутативность сложения
; коммутативность скалярного произведения
; антикоммутативность векторного произведения
; дистрибутивность умножения на скаляр над сложением
; дистрибутивность скалярного произведения над сложением
; распределенность векторного произведения над сложением![{ Displaystyle mathbf {A} cdot ( mathbf {B} times mathbf {C}) = mathbf {B} cdot ( mathbf {C} times mathbf {A}) = mathbf { C} cdot ( mathbf {A} times mathbf {B})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34fd23ffb5847e3148b683b2812659b29a00b6db)
(скалярное тройное произведение )
(вектор тройное произведение )
(вектор тройное произведение )
(Личность Якоби )
(Личность Якоби )
[нужна цитата ]
; Тождество Бине – Коши в трех измерениях
; Личность Лагранжа в трех измерениях
(векторное четырехкратное произведение)[4][5]![{ displaystyle ( mathbf {A} times mathbf {B}) times ( mathbf {C} times mathbf {D}) = | mathbf {A} , mathbf {B} , mathbf {D} | , mathbf {C} , - , | mathbf {A} , mathbf {B} , mathbf {C} | , mathbf {D} = | mathbf {A} , mathbf {C} , mathbf {D} | , mathbf {B} , - , | mathbf {B} , mathbf {C} , mathbf {D} | , mathbf {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91fd2a721898ca94088d37ce0c1740955f628fdf)
- В 3-х измерениях вектор D можно выразить через основу {А,B,C} в качестве:[6]
![{ Displaystyle mathbf {D} = { frac { mathbf {D} cdot ( mathbf {B} times mathbf {C})} {| mathbf {A} , mathbf {B } , mathbf {C} |}} mathbf {A} + { frac { mathbf {D} cdot ( mathbf {C} times mathbf {A})} {| mathbf {A } , mathbf {B} , mathbf {C} |}} mathbf {B} + { frac { mathbf {D} cdot ( mathbf {A} times mathbf {B}) } {| mathbf {A} , mathbf {B} , mathbf {C} |}} mathbf {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff1278a66ad4fee35d38d8909d12cfed0817997b)
Смотрите также
Рекомендации