Непрерывная функция - Continuous function
Часть цикла статей о | ||||||
Исчисление | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
| ||||||
| ||||||
В математика, а непрерывная функция это функция в котором нет резких изменений ценить, известный как разрывы. Точнее, достаточно малые изменения на входе непрерывной функции приводят к сколь угодно малым изменениям на выходе. Если функция не непрерывна, то говорят, что она прерывистый. Вплоть до XIX века математики в основном полагались на интуитивно понятный понятия непрерывности, в ходе которых такие попытки, как эпсилон – дельта определение были сделаны для его формализации.
Непрерывность функций - одна из основных концепций топология, который рассматривается ниже в общих чертах. Вводная часть этой статьи посвящена особому случаю, когда входы и выходы функций действительные числа. Более сильная форма преемственности - это равномерная преемственность. Кроме того, в этой статье обсуждается определение более общего случая функций между двумя метрические пространства. В теория порядка, особенно в теория предметной области, рассматривается понятие непрерывности, известное как Скотт преемственность. Существуют и другие формы преемственности, но они не обсуждаются в этой статье.
Например, функция ЧАС(т) обозначает высоту растущего цветка во время т будет считаться непрерывным. Напротив, функция M(т) обозначает сумму денег на банковском счете в момент времени т будет считаться прерывистым, поскольку он "прыгает" в каждый момент времени, когда деньги вносятся или снимаются.
История
Форма эпсилон – дельта определение непрерывности был впервые дан Бернар Больцано в 1817 г. Огюстен-Луи Коши определенная преемственность следующим образом: бесконечно малое приращение независимой переменной Икс всегда производит бесконечно малое изменение зависимой переменной у (см., например, Cours d'Analyse, п. 34). Коши определил бесконечно малые величины в терминах переменных величин, и его определение непрерывности очень похоже на определение бесконечно малых, используемое сегодня (см. микропрерывность ). Формальное определение и различие между точечной непрерывностью и равномерная преемственность были впервые даны Больцано в 1830-х годах, но работа не была опубликована до 1930-х годов. Как Больцано,[1] Карл Вейерштрасс[2] отрицал непрерывность функции в точке c если он не был определен по обе стороны от c, но Эдуард Гурса[3] позволил определить функцию только на одной стороне c, и Камилла Джордан[4] разрешил это, даже если функция была определена только в c. Все три из этих неэквивалентных определений точечной непрерывности все еще используются.[5] Эдуард Гейне представил первое опубликованное определение единообразной непрерывности в 1872 году, но основывал эти идеи на лекциях, прочитанных Питер Густав Лежен Дирихле в 1854 г.[6]
Реальные функции
Определение
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2b/Function-1_x.svg/220px-Function-1_x.svg.png)
А реальная функция, это функция из действительные числа к действительным числам, может быть представлен график в Декартова плоскость; такая функция является непрерывной, если, грубо говоря, график представляет собой единичный неразрывный изгиб чей домен это вся реальная линия. Ниже дается более математически строгое определение.[7]
Строгое определение непрерывности действительных функций обычно дается в первом курсе исчисления в терминах идеи предел. Во-первых, функция ж с переменной Икс называется непрерывным в момент c на реальной линии, если предел ж(Икс), так как Икс приближается к этой точке c, равно значению ж(c); и во-вторых, функция (в целом) как говорят непрерывный, если он непрерывен в каждой точке. Функция называется прерывистый (или иметь прерывность) в какой-то момент, когда он там не непрерывен. Сами по себе эти вопросы также рассматриваются как разрывы.
Есть несколько различных определений непрерывности функции. Иногда функцию называют непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области определения. В этом случае функция ж(Икс) = загар (Икс), с доменом всех реальных Икс ≠ (2п+1) π / 2, п любое целое число непрерывно. Иногда делается исключение для границ домена. Например, график функции ж(Икс) = √Икс, с областью определения всех неотрицательных действительных чисел, имеет левая рука конечная точка. В этом случае только предел от верно требуется, чтобы равняться значению функции. Под этим определением ж непрерывна на границе Икс = 0 и так для всех неотрицательных аргументов. Наиболее распространенное и ограничительное определение - функция непрерывна, если она непрерывна для всех действительных чисел. В этом случае предыдущие два примера не являются непрерывными, но каждый многочлен функция непрерывна, как и синус, косинус, и экспоненциальные функции. Следует проявлять осторожность при использовании слова непрерывный, чтобы из контекста было ясно, какое значение имеет это слово.
Используя математические обозначения, существует несколько способов определения непрерывных функций в каждом из трех упомянутых выше смыслов.
Позволять
- быть функцией, определенной на подмножество из набора реальных чисел.
Это подмножество это домен из ж. Некоторые возможные варианты включают
- ( - весь набор действительных чисел), или, для а и б действительные числа,
- ( это закрытый интервал ), или же
- ( является открытый интервал ).
В случае домена определяется как открытый интервал, и не принадлежат , а значения и не имеет значения для преемственности .
Определение в терминах пределов функций
Функция ж является непрерывно в какой-то момент c своего домена, если предел из ж(Икс), в качестве Икс подходы c через домен ж, существует и равно ж(c).[8] В математических обозначениях это записывается как
Подробно это означает три условия: во-первых, ж должен быть определен в c (гарантируется требованием, чтобы c находится в сфере ж). Во-вторых, должен существовать предел в левой части этого уравнения. В-третьих, значение этого лимита должно равняться ж(c).
(Здесь мы предположили, что область определения ж нет никаких изолированные точки. Например, интервал или объединение интервалов не имеет изолированных точек.)
Определение с точки зрения окрестностей
А район точки c - это набор, который содержит, по крайней мере, все точки в пределах некоторого фиксированного расстояния c. Интуитивно понятно, что функция непрерывна в точке c если диапазон ж по соседству с c сжимается до единой точки ж(c) как ширину окрестности вокруг c сжимается до нуля. Точнее, функция ж непрерывно в точке c области, если для любой окрестности есть район в своей области так, что в любое время
Это определение требует только, чтобы область и область значений были топологическими пространствами и, таким образом, является наиболее общим определением. Из этого определения следует, что функция ж автоматически непрерывно на каждом изолированная точка своего домена. В качестве конкретного примера, каждая действительная функция на множестве целых чисел является непрерывной.
Определение в терминах пределов последовательностей
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/be/Continuity_of_the_Exponential_at_0.svg/220px-Continuity_of_the_Exponential_at_0.svg.png)
Вместо этого можно потребовать это для любого последовательность точек в области, которые сходится к c, соответствующая последовательность сходится к ж(c). В математической записи
Определения Вейерштрасса и Жордана (эпсилон – дельта) непрерывных функций
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7f/Example_of_continuous_function.svg/220px-Example_of_continuous_function.svg.png)
Явно включая определение предела функции, мы получаем самостоятельное определение: для данной функции ж : D → р как указано выше и элемент Икс0 домена D, ж называется непрерывным в точке Икс0 когда выполняется следующее: Для любого числа ε > 0, каким бы малым оно ни было, существует некоторое число δ > 0 такое, что для всех Икс в области ж с Икс0 − δ < Икс < Икс0 + δ, значение ж(Икс) удовлетворяет
Альтернативно написано, непрерывность ж : D → р в Икс0 ∈ D означает, что для каждогоε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех Икс ∈ D :
Более интуитивно мы можем сказать, что если мы хотим получить все ж(Икс) значения, чтобы остаться в небольшом район вокруг ж(Икс0), нам просто нужно выбрать достаточно малую окрестность для Икс ценности вокруг Икс0. Если мы сможем это сделать, независимо от того, насколько мал ж(Икс) окрестности есть, то ж непрерывно наИкс0.
Говоря современным языком, это обобщается определением непрерывности функции относительно основа для топологии, здесь метрическая топология.
Вейерштрасс требовал, чтобы интервал Икс0 − δ < Икс < Икс0 + δ быть полностью в пределах домена D, но Джордан снял это ограничение.
Определение с точки зрения контроля остатка
В доказательствах и численном анализе нам часто нужно знать, насколько быстро сходятся пределы, или, другими словами, контролировать остаток. Мы можем формализовать это до определения непрерывности. Функция называется управляющей функцией, если
- C не убывает
Функция ж : D → р является C-непрерывный на Икс0 если
- для всех
Функция непрерывна в Икс0 если это C-непрерывно для некоторой управляющей функции C.
Такой подход естественным образом приводит к уточнению понятия непрерывности за счет ограничения набора допустимых управляющих функций. Для заданного набора функций управления функция -непрерывный, если он -прерывный для некоторых . Например, Липшиц и Непрерывные функции Гёльдера показателя степени α ниже определяются набором управляющих функций
соответственно
- .
Определение с использованием колебания
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7d/Rapid_Oscillation.svg/220px-Rapid_Oscillation.svg.png)
Непрерывность также можно определить с точки зрения колебание: функция ж непрерывно в точке Икс0 тогда и только тогда, когда его колебание в этой точке равно нулю;[9] в символах, Преимущество этого определения в том, что оно количественно оценивает прерывность: колебание дает, как много функция разрывная в точке.
Это определение полезно в описательная теория множеств для изучения множества разрывов и непрерывных точек - непрерывные точки являются пересечением множеств, где колебание меньше, чем ε (отсюда граммδ набор ) - и дает очень быстрое доказательство одного направления Условие интегрируемости Лебега.[10]
Колебание эквивалентно ε-δ определение путем простой перестановки и использования предела (лим суп, lim inf ), чтобы определить колебание: если (в данной точке) для данной ε0 здесь нет δ что удовлетворяет ε-δ определения, то колебание не менее ε0, и наоборот, если для каждого ε есть желаемый δ, колебание равно 0. Определение колебания может быть естественным образом обобщено на отображение топологического пространства в метрическое пространство.
Определение с использованием гиперреалов
Коши определяет непрерывность функции в следующих интуитивных терминах: бесконечно малый изменение независимой переменной соответствует бесконечно малому изменению зависимой переменной (см. Cours d'analyse, стр.34). Нестандартный анализ - это способ сделать это математически строгим. Реальная линия дополняется добавлением бесконечных и бесконечно малых чисел, чтобы сформировать гиперреальные числа. В нестандартном анализе непрерывность можно определить следующим образом.
- Действительная функция ж непрерывно на Икс если его естественное расширение на гиперреалы обладает тем свойством, что для всех бесконечно малых dx, ж(Икс+dx) − ж(Икс) бесконечно мал[11]
(видеть микропрерывность ). Другими словами, бесконечно малое приращение независимой переменной всегда приводит к бесконечно малому изменению зависимой переменной, давая современное выражение для Огюстен-Луи Коши определение преемственности.
Построение непрерывных функций
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2d/Brent_method_example.svg/220px-Brent_method_example.svg.png)
Проверку непрерывности данной функции можно упростить, проверив одно из указанных выше определяющих свойств для строительных блоков данной функции. Несложно показать, что сумма двух функций, непрерывных в некоторой области, также непрерывна в этой области. Данный
- ,
затем сумма непрерывных функций
(определяется для всех ) непрерывна в .
То же самое и для произведение непрерывных функций,
(определяется для всех ) непрерывна в .
Сочетание вышеуказанных сохранений преемственности и преемственности постоянные функции и из функция идентичности на , приходит к непрерывности всего полиномиальные функции на , Такие как
- ж(Икс) = Икс3 + Икс2 - 5Икс + 3
(на фото справа).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c4/Homografia.svg/220px-Homografia.svg.png)
Таким же образом можно показать, что обратная непрерывной функции
(определяется для всех такой, что ) непрерывна в .
Это означает, что без учета корней , то частное непрерывных функций
(определяется для всех , так что ) также непрерывна на .
Например, функция (на фото)
определено для всех действительных чисел Икс ≠ −2 и непрерывен в каждой такой точке. Таким образом, это непрерывная функция. Вопрос преемственности на Икс = −2 не возникает, так как Икс = −2 не входит в сферу у. Нет непрерывной функции F: р → р это согласуется с у(Икс) для всех Икс ≠ −2.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Si_cos.svg/220px-Si_cos.svg.png)
Поскольку функция синус непрерывно на всех действительных числах, функция sinc грамм(Икс) = грех (Икс)/Икс, определена и непрерывна для всех реальных Икс ≠ 0. Однако, в отличие от предыдущего примера, грамм может продолжается до непрерывной функции на все реальные числа, по определение Значение грамм(0) равным 1, что является пределом грамм(Икс), когда Икс приближается к 0, т.е.
Таким образом, установив
sinc-функция становится непрерывной функцией для всех действительных чисел. Период, термин устранимая особенность используется в таких случаях, когда (пере) определение значений функции для совпадения с соответствующими пределами делает функцию непрерывной в определенных точках.
Более сложная конструкция непрерывных функций - это функциональная композиция. Учитывая две непрерывные функции
их состав, обозначенный как, и определяется непрерывно.
Эта конструкция позволяет утверждать, например, что
- непрерывно для всех
Примеры разрывных функций
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/Discontinuity_of_the_sign_function_at_0.svg/300px-Discontinuity_of_the_sign_function_at_0.svg.png)
Примером разрывной функции является Ступенчатая функция Хевисайда , определяется