Объемный интеграл - Volume integral
Интеграл по трехмерной области
В математика (особенно многомерное исчисление ), а объемный интеграл относится к интеграл через 3-х мерный домен; то есть это частный случай кратные интегралы. Объемные интегралы особенно важны в физика для многих приложений, например, для расчета поток плотности.
В координатах
Это также может означать тройной интеграл в пределах региона
из функция
и обычно записывается как:
![{ Displaystyle iiint _ {D} е (х, y, z) , dx , dy , dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5fe06bc9a91420054921ca946e40ee29f2f7831)
Интеграл объема в цилиндрические координаты является
![{ displaystyle iiint _ {D} е ( rho, varphi, z) rho , d rho , d varphi , dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade33e992af29f94b9b8c494f6dcac99d89950f6)
и интеграл по объему в сферические координаты (используя соглашение ISO для углов с
как азимут и
измеряется от полярной оси (см. условности )) имеет вид
![{ displaystyle iiint _ {D} f (r, theta, varphi) r ^ {2} sin theta , dr , d theta , d varphi.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e39eed164ac11b2fe1cbd828cf8517fcff497e)
Пример 1
Интегрируя уравнение
над единичным кубом дает следующий результат:
![{ displaystyle int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} 1 , dx , dy , dz = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} (1-0) , dy , dz = int _ {0} ^ {1} (1-0) dz = 1-0 = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2c6b30a9d738ccf89880de7e2e0da66b837f60)
Таким образом, объем единичного куба равен 1, как и ожидалось. Однако это довольно тривиально, а интеграл по объему гораздо более эффективен. Например, если у нас есть скалярная функция плотности на единичном кубе, то интеграл по объему даст полную массу куба. Например, для функции плотности:
![{ displaystyle { begin {cases} f: mathbb {R} ^ {3} to mathbb {R} (x, y, z) longmapsto x + y + z end {cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29e4d229d5d22a497bcd0a771bcdedfc6f38547f)
общая масса куба:
![{ displaystyle int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} (x + y + z) , dx , dy , dz = int _ {0} ^ {1} int _ {0} ^ {1} left ({ frac {1} {2}} + y + z right) , dy , dz = int _ {0} ^ {1} (1 + z) , dz = { frac {3} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b48b3bd1184fbcbb848f6171ebb78ed630d1a32e)
Смотрите также
Математический портал
внешняя ссылка