Теорема Кнезерса (дифференциальные уравнения) - Knesers theorem (differential equations) - Wikipedia

В математика, в области обыкновенные дифференциальные уравнения, то Теорема Кнезера, названный в честь Адольф Кнезер, предоставляет критерии для определения того, является ли дифференциальное уравнение колеблющийся или нет.

Формулировка теоремы

Рассмотрим обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение вида

с

непрерывный Мы говорим, что это уравнение колеблющийся если у него есть решение у с бесконечно большим числом нулей и не колеблющийся иначе.

Теорема утверждает[1] что уравнение не осциллирует, если

и колеблется, если

Пример

Чтобы проиллюстрировать теорему, рассмотрим

куда является реальным и ненулевым. Согласно теореме, решения будут колебаться или нет в зависимости от того, положительный (не колеблющийся) или отрицательный (колебательный), потому что

Чтобы найти решения для этого выбора , и проверим теорему для этого примера, подставив 'Анзац'

который дает

Это означает, что (для ненулевых ) общее решение

куда и - произвольные постоянные.

Нетрудно заметить, что для положительного решения не колеблются, а при отрицательных личность

показывает, что они делают.

Общий результат следует из этого примера Теорема сравнения Штурма – Пиконе.

Расширения

Есть много расширений к этому результату. Для недавней учетной записи см.[2]

Рекомендации

  1. ^ Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы.. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-8328-0.
  2. ^ Хельге Крюгер и Джеральд Тешль, Эффективные углы Прюфера и критерии относительных колебаний, J. Diff. Уравнение 245 (2008), 3823–3848 [1]